a) ĐKXĐ: \(x;y>0\)  

 Ta có:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{4y}{4xy}+\frac{4x}{4xy}=\frac{xy}{4xy}\)

\(\Rightarrow4x+4y-xy=0\)

\(\Rightarrow x\left(4-y\right)=-4y\)

\(\Rightarrow x=\frac{-4y}{4-y}=\frac{-4\left(y-4\right)-16}{-\left(y-4\right)}\)

\(\Rightarrow x=4-\frac{16}{4-y}\)

Để x nguyên dương =>\(\hept{\begin{cases}\frac{16}{4-y}< 0\\\left(4-y\right)\inƯ\left(16\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow4-y\in\left\{\pm1;\pm2;\pm4;\pm8;\pm16\right\}\)

Tìm nốt y và thay vào tìm ra x

a/ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\)

Không mất tính tổng quát giả sử: \(x\ge y\)

\(\frac{1}{4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le\frac{2}{y}\)

\(\Leftrightarrow0< y\le8\)

\(\Rightarrow y=\left\{1;2;3;4;5;6;7;8\right\}\)làm nốt

b/ \(5\left(xy+yz+zx\right)=4xyz\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{4}{5}\)

Giả sử: \(x\le y\le z\)

\(\Rightarrow\frac{4}{5}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{3}{x}\)

\(\Leftrightarrow0< x\le0\)

Nên vô nghiệm

Ta có:

\(xy+yz+zx=4xyz\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\)

\(P=\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\)

\(\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\right)\)

\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=1\)

áp dụng cô si sháp cho 4 số ta được :

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge\frac{16}{a+b+c+d}\)  Luôn đúng , ( tự chứng minh )

\(\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)\ge\frac{1}{a+b+c+d}\) luôn luôn đúng

áp dụng vào  P ta được như sau

\(\frac{1}{x+x+y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) luôn đúng :))

\(\frac{1}{x+y+y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\frac{1}{x+y+z+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\right)\)

Cộng tất cả vào ta được

\(P\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)\Leftrightarrow P\le\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)\)

Thèo đề \(xy+yz+xz=4xyz\Leftrightarrow xy+yz+xz=xyz+xyz+xyz+xyz\)

Tao cũng éo hiểu tại sao nó = nhau được

1 đề sai  , 2 tao sai thế thôi

Lời giải:

Do $x,y,z\in [0;1]$ nên $1+yz; 1+xz; 1+xy\geq 1+xyz$

$\Rightarrow \frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+xz}+\frac{z}{1+xy}\leq \frac{x+y+z}{1+xyz}$

Ta cần chứng minh: $\frac{x+y+z}{1+xyz}\leq 2$

$\Leftrightarrow x+y+z\leq 2+2xyz(*)$

Thật vậy:

$x,y\in [0;1]\Rightarrow (x-1)(y-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow xy+1\geq x+y\Rightarrow xy+z+1\geq x+y+z(1)$
Mà:

$xy+z+1-(2+2xyz)=xy+z-2xyz-1=xy(1-z)-(1-z)-xyz=(xy-1)(1-z)-xyz\leq 0$ do $0\leq x,y,z\leq 1$)

$\Rightarrow xy+z+1\leq 2+2xyz(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow x+y+z\leq 2+2xyz$

BĐT $(*)$ đc chứng minh nên ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(1,1,0)$ và hoán vị

Trâu bò nhưng bù lại là đơn giản:

\(VP-VT\equiv f\left(x,y,z\right)=f\left(\frac{a}{a+1},\frac{b}{b+1},\frac{c}{c+1}\right)\ge0\)

Bất đẳng thức cuối quy đồng lên sẽ thấy điều hiển nhiên ;)

#)Góp ý :

   Mời bạn tham khảo :

   http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%AAn-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017/

   Mình sẽ gửi link này về chat riêng cho bạn !

Tham khảo qua đây nè :

http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%Ân-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017

tk cho mk nhé