Xét : ( x-1 ).( x+1 )
= x^2 + x - x -1
= x^2 - 1
Có : x.(x^2 - 1)
= x.( x-1 ).( x+1 )
= ( x - 1 ).x.( x+1 )
Do x-1; x; x+1 là 2 số nguyên liên tiếp
=> ( x - 1 ).x.( x+1 ) chia hết cho 3
=> x.(x^2 - 1) chia hết cho 3
Vậy....

A = n 4   –   2 n 3   –   n 2  +2n = (n – 2)(n – 1)n(n + 1) là tích của 4 số nguyên liên tiếp do đó  A ⋮ 24 .

\(\left(2-n\right)\left(n^2-3n+1\right)+n\left(n^2+12\right)+8\)

\(=2n^2-6n+2-n^3+3n^2-n+n^3+12n+8\)

\(=5n^2+5n+10\)

\(=5\left(n^2+n+2\right)⋮5\) (đpcm)

\(\left(n-1\right)^2\cdot\left(n+1\right)+\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-1+1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì n;n-1;n+1 là ba số nguyên liên tiếp

nên \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3!\)

hay \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\)

Bài 1:

Ta có: \(2n^2\left(n+1\right)-2n\left(n^2+n-3\right)\)

\(=2n^3+2n^2-2n^3-2n^2+6n\)

\(=6n⋮6\)

1) \(2n^2\left(n+1\right)-2n\left(n^2+n-3\right)=2n^3+2n^2-2n^3-2n^2+6n=6n⋮6\forall n\in Z\)

2) \(n\left(3-2n\right)-\left(n-1\right)\left(1+4n\right)-1=3n-2n^2-4n^2+3n+1-1=-6n^2+6n=6\left(-n^2+n\right)⋮6\forall n\in Z\)