Bài toán bảo tính hay ch/minh z bạn

A = 2 + 2^2 + 2^3 + ... +  2^60 (1) 
Suy ra : 
2A = 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^61 (2) 
Lay (2) tru (1) thi duoc : 
A = 2^61 - 2 = 2.(2^61 - 1) 

Chứng minh A chia hết cho 15

Ta có : 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ + 2¹⁰ + 2¹¹ + 2¹² + ... + 2³¹ + 2³² + 2³³ + 2³⁴ + 2³⁵ + 2³⁶

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + (2⁷ + 2⁸ + 2⁹ + 2¹⁰ + 2¹¹ + 2¹²) + ... + (2³¹ + 2³² + 2³³ + 2³⁴ + 2³⁵ + 2³⁶)

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + 2⁶.(2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + .... + 2³⁰.(2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶)

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶).(1 + 2⁶ + ... + 2³⁰)

=  126.(1 + 2⁶ + ... + 2³⁰)

= 21.6.(1 + 2⁶ + ... + 2³⁰) \(⋮\)21

=> 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2³⁵ + 2³⁶ \(⋮\)21 (đpcm)

B=n(n⁴-4n²+4)-n³ = n⁵-4n³+4n-n³=n⁵-5n³+4n=n(n⁴-5n²+4)=n(n⁴-n²-4n²+4)=n[n²(n²-1)-4(n²-1)]=n(n²-1)(n²-4)=n(n-1)(n-2)(n+1)(n+2)

=> B=(n-2)(n-1).n(n+1)(n+2)

Nhận thấy, các số (n-2); (n-1); n; (n+1) và (n+2) là 5 số tự nhiên liên tiếp nên ít nhất phải có 2 số là số chẵn và 1 số phải có tận cùng là 5 hoặc 0

=> Số tận cùng của B là 0

=> B chia hết cho 10 với mọi n thuộc Z

cảm ơn bạn nhiều

\(B=2+2^2+2^3+2^4+...+2^9+2^{10}\)

\(2B=2^2+2^3+2^4+...+2^{10}+2^{11}\). Do 2B - B = B nên

\(B=\left(2^2+2^3+2^4+...+2^{10}+2^{11}\right)-\left(2+2^2+2^3+2^4+...+2^9+2^{10}\right)\)

\(=2^{11}-2⋮3^{\left(đpcm\right)}\)

\(B=2+2^2+2^3+2^4+...+2^9+2^{10}\)

\(B=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^9+2^{10}\right)\)

\(B=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+...+2^9\left(1+2\right)\)

\(B=2.3+2^3.3+...+2^9.3\)

\(B=3\left(2+2^3+...+2^9\right)⋮3\) ( đpcm ) 

Vậy \(B⋮3\)

Q = (a - 2)(a + 3) - (a - 3)(a + 2)

thì (a - 2)(a + 3) - (a - 3)(a + 2) suy ra lẻ * chẵn - chẫn * lẻ = chẵn - chẵn = chẵn (1)

thì (a - 2)(a + 3) - (a - 3)(a + 2) suy ra chẵn * lẻ - lẻ * chẵn = chẵn - chẵn = chẵn (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

ta có A=2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+.....+2^58+2^59+2^60

A=(2+2^2+2^3)+(2^4+2^5+2^6)+...+(2^58+2^59+2^60)

A=14+2^3.(2+2^2+2^3)+.....+2^57.(2+2^2+2^3)

A=14+2^3.14+...+2^57.14

A=14.(1+2^3+...+2^57)\(⋮\)14

=> ĐPCM

chia hết cho 2 và7 nhóm lại sẽ chia hết cho 7

=> ĐPCM