y² = \(1+\sqrt{9-x^2-4x}\)

Ta có 9 - x² - 4x \(\ge0\)

<=> 1\(\ge\)x\(\ge\)- 5

Vì y nguyên nên 9 - x² - 4x = 13 - (x + 2)² phải là số chính phương hay [13 - (x + 2)²] = (0; 1; 4; 9)

Thế vào ta tìm được x = (0; 1; -4 ; -5)

Thế vào tìm y thì chỉ có 0 và - 4 thỏa mãn

Vậy nghiệm cần tìm là (x; y) = (0, 2; 0,-2;-4,2;-4,-2)

9-x^2-4x = 13-(x+2)^2 <= 13

=> căn(9-x^2-4x) <= căn13 < 4

=> y^2<1+4 =5 

=> y^2=0;1;4

\(4x^2+4x+y^2-6y=24\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2+4x+1\right)+\left(y^2-6y+9\right)=34\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2+\left(y-3\right)^2=34=3^2+5^2\)

\(TH1:\hept{\begin{cases}\left(2x+1\right)^2=3^2\\\left(y-3\right)^2=5^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=8\end{cases}}\)

\(TH2:\hept{\begin{cases}\left(2x+1\right)^2=5^2\\\left(y-3\right)^2=3^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=6\end{cases}}\)

Vay.....

\(4x^2+4x+y^2-6y=24\)

\(\Leftrightarrow4x^2+4x+y^2-6y-24=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2+4x+1\right)+\left(y^2-6y+9\right)-34=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2+\left(y-3\right)^2=34\)

Mà \(34=3^2+5^2=\left(-3\right)^2+\left(-5\right)^2\)

Vì là nghiệm nguyên dương nên:

\(\left(2x+1\right)^2+\left(y-3\right)^2=3^2+5^2\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\orbr{\begin{cases}\\\end{cases}}\\\orbr{\begin{cases}\\\end{cases}}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2x+1=3\\y-3=5\end{cases}}\)hoặc     \(\orbr{\begin{cases}2x+1=5\\y-3=3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2x=2\\y=8\end{cases}}\)         hoặc     \(\orbr{\begin{cases}2x=4\\y=6\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\y=8\end{cases}}\)           hoặc      \(\orbr{\begin{cases}x=2\\y=6\end{cases}}\)

Vậy các cặp số (x;y) là: (1;8);(2;6)

Đáp án trong hình

2 - 1 = 1 chứ

x² + 4x -y² = 1

=> x² + 4x - y² + 4 = 1 + 4 = 5 

=> (x² + 4x + 4) - y² = 5 

=> (x+2)² - y² = 5

=> (x+2-y)(x+2+y) = 5

Ta có:

1.5=5

mà x+2-y < x+2+y

=> \(\hept{\begin{cases}\text{x+2-y=1}\\\text{x+2+y}=5\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}x-y=-1\\x+y=3\end{cases}}\)

Từ x-y = -1 => x = y - 1

Thay x = y - 1 vào x + y, ta có:

x + y = y - 1 + y = 3

=> 2y - 1 = 3

=> 2y = 4 => y=2

=> x = 2 - 1 = 2

Vậy x=2; y = 1 thì x² + 4x -y² = 1

\(\Leftrightarrow y^2=x^2+4x+5\left(y\ge0\right)\\ \Leftrightarrow y^2-\left(x+2\right)^2=1\\ \Leftrightarrow\left(y-x-2\right)\left(y+x+2\right)=1\)

Vì \(x,y\in Z\Leftrightarrow\left(y-x-2\right)\left(y+x+2\right)=1\cdot1=\left(-1\right)\left(-1\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}y-x-2=1\\y+x+2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-x=3\\y+x=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=1\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}y-x-2=-1\\y+x+2=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-x=1\\y+x=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-1\end{matrix}\right.\left(ktm\right)\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(-2;1\right)\)