Xét mẫu số liệu sau khi được ghép nhóm ở Luyện tập 2. Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu đó.
Số điểm một cầu thủ bóng rổ ghi được trong 20 trận đấu được cho ở bảng sau:
a) Tìm tứ phân vị của dãy số liệu trên.
b) Tổng hợp lại dãy số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:
c) Hãy ước lượng tứ phân vị của số liệu từ bảng tần số ghép nhóm trên.
a) Sắp xếp lại dãy số liệu theo thứ tự không giảm:
Tứ phân vị thứ nhất là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_5} + {x_6}} \right) = \frac{1}{2}\left( {11 + 11} \right) = 11\)
Tứ phân vị thứ hai là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{10}} + {x_{11}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {14 + 14} \right) = 14\)
Tứ phân vị thứ ba là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{15}} + {x_{16}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {21 + 22} \right) = 21,5\)
b)
c) Do số trận đấu là số nguyên nên ta hiệu chỉnh như sau:
Tổng trận đấu là: \(n = 4 + 8 + 2 + 6 = 20\).
Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{20}}\) là điểm số của các trận đấu được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có:
\({x_1},...,{x_4} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {5,5;10,5} \right)}\end{array};{x_5},...,{x_{12}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {10,5;15,5} \right)}\end{array};{x_{13}},{x_{14}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {15,5;20,5} \right)}\end{array};{x_{15}},...,{x_{20}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {20,5;25,5} \right)}\end{array}\)
• Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{10}} + {x_{11}}} \right)\)
Ta có: \(n = 20;{n_m} = 8;C = 4;{u_m} = 10,5;{u_{m + 1}} = 15,5\)
Do \({x_{10}},{x_{11}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {10,5;15,5} \right)}\end{array}}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là:
\({Q_2} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 10,5 + \frac{{\frac{{20}}{2} - 4}}{8}.\left( {15,5 - 10,5} \right) = 14,25\)
• Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_5} + {x_6}} \right)\).
Ta có: \(n = 20;{n_m} = 8;C = 4;{u_m} = 10,5;{u_{m + 1}} = 15,5\)
Do \({x_5},{x_6} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {10,5;15,5} \right)}\end{array}}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là:
\({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 10,5 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 4}}{8}.\left( {15,5 - 10,5} \right) = 11,125\)
• Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{15}} + {x_{16}}} \right)\).
Ta có: \(n = 20;{n_j} = 6;C = 4 + 8 + 2 = 14;{u_j} = 20,5;{u_{j + 1}} = 25,5\)
Do \({x_{15}},{x_{16}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {20,5;25,5} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là:
\({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right) = 20,5 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - 14}}{6}.\left( {25,5 - 20,5} \right) \approx 21,3\)
Một cửa hàng đã thống kê số ba lỗ bán được mỗi ngày trong tháng 9 với kết quả cho như sau:
Hãy chia mẫu số liệu trên thành 5 nhóm, lập tần số ghép nhóm, hiệu chỉnh bảng và xác định giá trị đại diện cho mỗi nhóm.
Tham khảo:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là \(R = 29 - 10 = 19\).
Độ dài mỗi nhóm \(L > \frac{R}{k} = \frac{{19}}{5} = 3,8\).
Ta chọn \(L = 4\) và chia dữ liệu thành các nhóm: \(\left[ {10;14} \right),\left[ {14;18} \right),\left[ {18;22} \right),\left[ {22;26} \right),\left[ {26;30} \right)\).
Khi đó ta có bảng tần số ghép nhóm sau:
Lương tháng của một số nhân viên một văn phòng được ghi lại như sau (đơn vị: triệu đồng):
a) Tìm tứ phân vị của dãy số liệu trên.
b) Tổng hợp lại dãy số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:
c) Hãy ước lượng tứ phân vị của số liệu ở bảng tần số ghép nhóm trên.
a) Sắp xếp lại dãy số liệu theo thứ tự không giảm:
Tứ phân vị thứ nhất là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_6} + {x_7}} \right) = \frac{1}{2}\left( {8,9 + 9,2} \right) = 9,05\)
Tứ phân vị thứ hai là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{13}} + {x_{14}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {10,7 + 10,9} \right) = 10,8\)
Tứ phân vị thứ ba là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{18}} + {x_{19}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {12,2 + 12,5} \right) = 12,35\)
b)
c) Tổng số nhân viên văn phòng là: \(n = 3 + 6 + 8 + 7 = 24\).
Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{24}}\) là lương tháng của các nhân viên văn phòng được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có:
\({x_1},{x_2},{x_3} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {6;8} \right)}\end{array};{x_4},...,{x_9} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {8;10} \right)}\end{array};{x_{10}},...,{x_{17}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {10;12} \right)}\end{array};{x_{18}},...,{x_{24}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {12;14} \right)}\end{array}\)
• Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{13}} + {x_{14}}} \right)\)
Ta có: \(n = 24;{n_m} = 8;C = 3 + 6 = 9;{u_m} = 10;{u_{m + 1}} = 12\)
Do \({x_{13}},{x_{14}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {10;12} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là:
\({Q_2} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 10 + \frac{{\frac{{24}}{2} - 9}}{8}.\left( {12 - 10} \right) = 10,75\)
• Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_6} + {x_7}} \right)\).
Ta có: \(n = 24;{n_m} = 6;C = 3;{u_m} = 8;{u_{m + 1}} = 10\)
Do \({x_6},{x_7} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {8;10} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là:
\({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 8 + \frac{{\frac{{24}}{4} - 3}}{6}.\left( {10 - 8} \right) = 9\)
• Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{18}} + {x_{19}}} \right)\).
Ta có: \(n = 24;{n_j} = 7;C = 3 + 6 + 8 = 17;{u_j} = 12;{u_{j + 1}} = 14\)
Do \({x_{18}},{x_{19}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {12;14} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là:
\({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right) = 12 + \frac{{\frac{{3.24}}{4} - 17}}{7}.\left( {14 - 12} \right) \approx 12,3\)
Tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba cho mẫu số liệu ghép nhóm ở Luyện tập 2.
Cỡ mẫu: \(n = 200\)
Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \(\frac{{{x_{50}} + {x_{51}}}}{2}\). Do \({x_{50}},\;{x_{51}}\) đều thuộc nhóm [160; 165) nên tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [160; 165).
Do đó, \(p = 3,\;{a_3} = 160,\;{m_3} = 35;\;\;{m_1} + {m_2} = 18 + 28 = 46;\;\;{a_4} - {a_3} = 5\)
Ta có: \({Q_1} = 160 + \frac{{\frac{{200}}{4} - 46}}{{35}} \times 5 = 160.57\)
Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là \(\frac{{{x_{150}} + {x_{151}}}}{2}\). Do \({x_{150}},\;{x_{151}}\) đều thuộc nhóm [170; 175) nên tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm [170; 175).
Do đó, \(p = 5,\;{a_5} = 170,\;{m_5} = 41;\;\;{m_1} + {m_2} + {m_3} + {m_4} = 18 + 28 + 35 + 43 = 124;\;\;{a_6} - {a_5} = 5\).
Ta có: \({Q_3} = 170 + \frac{{\frac{{600}}{4} - 124}}{{41}} \times 5 = 173.17\).
Cho các số liệu thống kê được ghi trong hai bảng sau
a) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp theo nhóm cá thứ 1 với các lớp là
[630; 635) ; [635;640) ; [640; 645) ; [645; 650) ; [650; 655)
b) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp theo nhóm cá thứ 2 với các lớp là:
[638;642) ; [642; 646) ; [646;650) ; [650; 654] ;
c) Mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã được lập ở câu a) bằng cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột và đường gấp khúc tần suất
d) Mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã được lập ở câu b) bằng cách vẽ biểu đồ tần số hình cột và đường gấp khúc tần số
e) Tính số trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn của các bảng phân bố đã lập được
Từ đó, xét xem nhóm cá nào có khối lượng đồng đều hơn
a) Bảng phân bố tần số và tần suất:
Nhóm cá thứ I | Tần số | Tần suất |
---|---|---|
[630;635) | 1 | 4,2% |
[635;640) | 2 | 8,3% |
[640;645) | 3 | 12,5% |
[645;650) | 6 | 25% |
[650;655] | 12 | 50% |
Cộng | 24 | 100% |
b) Bảng phân bố tần số và tần suất:
Nhóm cá thứ I | Tần số | Tần suất |
---|---|---|
[638;642) | 5 | 18,52% |
[642;646) | 9 | 33,33% |
[646;650) | 1 | 3,7% |
[650;654) | 12 | 44,45% |
Cộng | 27 | 100% |
c) Biểu đồ tần suất hình cột:
- Đường gấp khúc tần suất
d) Biểu đồ tần số
- Đường gấp khúc tần số
e) * Xét bảng phân bố ở câu a)
- Số trung bình:
- Phương sai:
- Độ lệch chuẩn:
* Xét bảng phân bố ở câu b):
- Số trung bình:
- Phương sai:
- Độ lệch chuẩn:
Nhận thấy s2 < s1 nên nhóm cá thứ hai có khối lượng đồng đều hơn.
Với số liệu cho trong Luyện tập 1:
a) Có thể tìm được giá trị chính xác cho mốt của mẫu số liệu gốc về thời gian xem ti vi của học sinh không?
b) Mốt thuộc nhóm nào là hợp lí nhất? Nên lấy số nào trong nhóm để ước lượng cho mốt? Cho mẫu số liệu ghép nhóm như trong Bảng 3.2.
a) Không thể tìm được giá trị chính xác cho mốt của mẫu số liệu gốc về thời gian xem ti vi của học sinh
b) Tần số lớn nhất là 16 nên nhóm chứa mốt là [5;10)
Ta có \(j = 2,\;{a_2} = 5,\;{m_2} = 16,\;{m_1} = 8;\;{m_3} = 4,\;h = 5.\) Do đó,
\({M_0} = 5 + \frac{{16 - 8}}{{\left( {16 - 8} \right) + \left( {16 - 4} \right)}} \times 5 = 7\).
Với mẫu số liệu ghép nhóm cho trong HĐ2, hãy cho biết tứ phân vị nhất \({Q_1}\) và tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) thuộc nhóm nào.
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như Bảng 3.2
Cỡ mẫu là: \(n = 21\).
Suy ra tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\)là \(\frac{{{x_5} + {x_6}}}{2}\). Do \({x_5};{x_6}\) đều thuộc nhóm [5;10) nên từ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [5;10).
Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là \(\frac{{{x_{16}} + {x_{17}}}}{2}\) . Do \({x_{16}};\;{x_{17}}\)đều thuộc nhóm [10; 15) nên tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm [10; 15).
Mẫu số liệu dưới đây ghi lại độ dài quãng đường di chuyển trong một tuần (đơn vị: kilomet) của 40 chiếc ô tô:
a) Lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy với năm nhóm ứng với năm nửa khoảng: [100 ; 120), [120 ; 140), [140 ; 160), [160 ; 180), [180 ; 200)
b) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu?
a, Bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng:
b, - Trung bình cộng là:
\(\overline{x}=\dfrac{110\cdot4+130\cdot15+150\cdot14+170\cdot5+190\cdot2}{40}=143\)
- Trung vị là: \(M_e=140+\left(\dfrac{20-19}{14}\right)\cdot20\simeq141\)
- \(Q_1=120+\left(\dfrac{10-4}{15}\right)\cdot20\simeq128\\ Q_2=M_e\simeq141\\ Q_3=140+\left(\dfrac{30-19}{15}\right)\cdot20=155,6\)
c, Mốt của mẫu số liệu là:
Có nhóm 2 là nhóm có tần số lớn nhất
\(\Rightarrow M_o=120+\left(\dfrac{15-4}{2\cdot15-4-14}\right)\cdot20\simeq138,3\)
Cho các số liệu thống kê được ghi trong hai bảng sau đây :
a. Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp theo nhóm cá thứ 1 với các lớp là :
[630;635); [635;640); [640;645); [645;650); [650;655]
b. Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp theo nhóm cá thứ 2 với các lớp là :
[638;642); [642;646); [646;650); [650;654]
c. Mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã được lập ở câu a) bằng cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột và đường gấp khúc tần suất ?
d. Mô tả bảng phân bố tần số ghép lớp đã được lập ở câu b), bằng cách vẽ biểu đồ tần số hình cột và đường gấp khúc tần số
e. Tính số trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn của các bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp đã lập được
Từ đó, xem xét nhóm cá nào có khối lượng đồng đều hơn ?
a) Bảng phân bố tần số và tần suất:
b) Bảng phân bố tần số và tần suất:
c) Biểu đồ tần suất hình cột:
- Đường gấp khúc tần suất
d) Biểu đồ tần số
- Đường gấp khúc tần số
e) Xét bảng phân bố ở câu a)
- Số trung bình cộng:
Từ đó ta thấy nhóm cá thứ 2 có khối lượng đồng đều hơn.
Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Thời gian (phút) | [0;20) | [20; 40) | [40; 60) | [60; 80) | [80; 100) |
Số học sinh | 5 | 9 | 12 | 10 | 6 |
Mẫu số liệu ghép nhóm này có số mốt là
A. 0 C. 2
B. 1 D. 3
Vì đây là mẫu số liệu ghép nhóm và tần số các nhóm khác nhau nên có 1 mốt
Đáp án: B.