.

Câu hỏi của toán khó mới hay - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Ta có S_ABC=\(\dfrac{AD.BC}{2}\)

Tứ giác ABMC có AM⊥BC⇒S_ABMC=\(\dfrac{AM.BC}{2}\)

Suy ra \(\dfrac{S_{ABMC}}{S_{ABC}}=\dfrac{AM}{AD}\)

Chứng minh tương tự: \(\dfrac{S_{ABCN}}{S_{ABC}}=\dfrac{BN}{BE}\)

\(\dfrac{S_{ACBK}}{S_{ABC}}=\dfrac{CK}{CF}\)

Vậy \(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CK}{CF}=\dfrac{S_{ABMC}+S_{ABCN}+S_{ACBK}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_{ABC}+S_{BMC}+S_{ABC}+S_{ANC}+S_{ABC}+S_{ABK}}{S_{ABC}}=3+\dfrac{S_{BMC}+S_{ANC}+S_{AKB}}{S_{ABC}}\)(1)

Gọi H là giao điểm của AD,BE,CF ta có

\(\widehat{MBD}=\widehat{MBC}=\widehat{MAC}\)(cùng chắn cung MC)=\(\widehat{EAH}=90^0-\widehat{AHE}=90^0-\widehat{BHD}=\widehat{HBD}\)

Lại có BD là cạnh chung

\(\widehat{BDH}=\widehat{BDM}=90^0\)

Suy ra △BHD=△BMD(cạnh huyền, góc nhọn)\(\Rightarrow HD=MD\Rightarrow S_{BMC}=\dfrac{MD.BC}{2}=\dfrac{HD.BC}{2}=S_{BHC}\)

Chứng minh tương tự: \(S_{ANC}=S_{AHC}\)

\(S_{AKB}=S_{AHB}\)

Vậy \(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CK}{CF}=3+\dfrac{S_{BMC}+S_{AKB}+S_{ANC}}{S_{ABC}}=3+\dfrac{S_{BHC}+S_{ABH}+S_{AHC}}{S_{ABC}}=3+\dfrac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=3+1=4\)

Vậy \(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CK}{CF}=4\)

Hai góc này không bằng nhau thì chứng minh làm sao được em?

Em thử sử dụng tính năng đo góc của geogebra là biết.

ta có: \(MC^2=MI.MA\)

\(\Rightarrow MD^2=MI.MA\) ( do tam giác MCD cân tại M)

\(\Rightarrow\dfrac{MD}{MA}=\dfrac{ MI}{MD}\) 

Xét tam giác MDI và tam giác MAD có :

\(\left\{{}\begin{matrix}DMAgócchung\\\dfrac{MD}{MA}=\dfrac{MI}{MD}\end{matrix}\right.\)

=> tam giác MDI đồng dạng tam giác MAD ( g -c)

=> góc MDI = góc MAD (1)

tứ giác DNIC nội tiếp => góc MDI = góc MCI (2)

từ 1 và 2 suy ra :góc NCI = góc HAD

mà góc MAD = góc KCI 

=>  góc NCI = góc KCI 

vậy 3 điểm C ; K ; N thẳng hàng ( đpcm)