a: Xét ΔMEN và ΔMFP co

ME=MF

góc M chung

MN=NP

=>ΔMEN=ΔMFP

=>EN=FP

b: Xét ΔFNP và ΔEPN có

FN=EP

NP chung

FP=EN

=>ΔFNP=ΔEPN

=>góc ONP=góc OPN

=>ON=OP

Xét ΔMON và ΔMOP có

MO chung

ON=OP

MN=MP

=>ΔMON=ΔMOP

=>góc NMO=góc PMO

=>MO là phân giác của góc NMP

a) Ta có: \(FN=\dfrac{1}{2}MN\) (F là trung điểm MN).

\(EP=\dfrac{1}{2}MP\) (E là trung điểm MP).

Mà MN = MP (Tam giác MNP cân tại M).

\(\Rightarrow FN=EP.\)

Xét tam giác NPE và tam giác PNF:

NP chung.

\(\widehat{N}=\widehat{P}\) (Tam giác MNP cân tại M).

\(FN=EP\left(cmt\right).\)

\(\Rightarrow\) Tam giác NPE = Tam giác PNF (c - g - c).

b) Tam giác NPE = Tam giác PNF (cmt).

\(\Rightarrow\widehat{ENP}=\widehat{FPN}.\)

\(\Rightarrow\) Tam giác HNP cân tại H.

a: Xét ΔFNP và ΔEPN có

FN=EP

\(\widehat{FNP}=\widehat{EPN}\)

NP chung

Do đó: ΔFNP=ΔEPN

b: Xét ΔHNP có \(\widehat{HPN}=\widehat{HNP}\)

nên ΔHNP cân tại H

a) F là trung điểm MN; E là trung điểm MP ( giả thiết ) (1)

=> EF là đường trung bình của tam giác MNP

=> EF//=NP/2 (2)

mà Tam giác MNP cân tại M => MN=MP (3)

(1) , (3) => FM=FN=EM=EP (4)

(2), (4) => NFEP là hình thang cân

b) \(MH\perp NP\)(giả thiết ) (5)

(2), (5) => \(MH\perp EF\)(6)

Tam giác MNP cân tại M có M H là đường cao => MH là đường trung tuyên =>  H là trung điểm NP

Khi đó FH là đường trung bình tam giác MNP => FH //=ME=> FMEH là hình bình hành  (7)

Từ (6); (7) => MFHE là hình thoi

c) EF là đường trung bình của OQD => EF//=QD/2 (8)

Từ (2), (8) => NP//=QD=> QNPD là hinh bình hành

OD=2 OE=NO => O là trung điểm ND

=> OH là đường trung bình tam giác NDP => OH//DP mà OH vuông NP => DP vuông NP (9)

Từ (8), (9) => QDPN là hình chữ nhật 

c) NP=12 cm => HP=6 cm

=> \(MH=\sqrt{MP^2-HP^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\)

dienj tích MNP =\(\frac{1}{2}.12.8\)

a) Xét ΔMEN vuông tại E và ΔMFP vuông tại F có 

\(\widehat{NME}\) chung

Do đó: ΔMEN\(\sim\)ΔMFP(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{ME}{MF}=\dfrac{MN}{MP}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(ME\cdot MP=MF\cdot MN\)(đpcm)

a) CÓ TAM GIÁC MNP CÂN TẠI M(gt)

=> MN=MP( ĐN TAM GIÁC CÂN)

XÉT TAM GIÁC MFP CÂN TẠI F VÀ TAM GIÁC MEN CÂN TẠI E CÓ:

MP=MN(CMT)

GÓC M CHUNG

=> TAM GIÁC MFP = TAM GIÁC MEN( CH-GN)

b)CÓ TAM GIÁC MFP = TAM GIÁC MEN( CM Ở CÂU a)

XÉT TAM GIÁC MFO VUÔNG TẠI F VÀ TAM GIÁC MEO VUÔNG TẠI E CÓ:

MO CHUNG

MF=ME( CMT)

=> TAM GIÁC MFO = TAM GIÁC MEO( CH-CGV)

=> GOC FMO = GÓC EMO( 2 GÓC TƯƠNG ỨNG)

=> MO LÀ TIA PHÂN GIÁC CỦA GÓC NMP

a: Xet ΔMHN vuông tại H và ΔMHP vuông tại H co

MN=MP

MH chung

=>ΔMHN=ΔMHP

b: Xet ΔMNP có

MH,NE là đường trung tuyến

MH cắt NEtại G

=>G là trọng tâm

=>MG=2GH=12m

c: MG=2GH

GH=HC

=>MG=2HC

Gọi Q là giao điểm của PF và AK ,I là giao điểm của PE và CL

Trong △ FPE ta có: PE//AK hay QM //PE

Suy ra:  (định lí ta-lét) (1)

Trong  △ ALO ta có:PF //CL hay FQ //LO

Suy ra: (định lí ta-lét) (2)

Trong  △ ALC ta có: PF // CL

Suy ra:  (định lí ta-lét) (3)

Từ (2) và (3) suy ra: 

Vì LO = 1/3 CL (O giao điểm của hai đường trung tuyến) nên  (4)

Từ (1) và (4) suy ra:  ⇒ FM = 1/3 FE

Trong  △ EPF ta có:PF // CL hay NI // PF

Suy ra:  (định lí ta –lét) (5)

Trong  △ CKO ta có: EI // OK

Suy ra:  (định lí ta –lét) (6)

Trong  △ CKA ta có:PE // AK

Suy ra:  (định lí ta –lét) (7)

Từ (6) và (7) suy ra: 

Vì OK = 1/3 AK (O là giao điểm của hai đường trung tuyến) nên  (8)

Từ (5) và (8) suy ra:  ⇒EN = 1/3 EF

Ta có: MN = EF - (EN + FM) = EF - (1/3 EF + 1/3 EF) = 1/3 EF

Vậy EN = MN = NF