Bài 2: cho ΔMNP cân tại M đường trung tuyến NE , PF
C/M NE=PF
Cho tam giác MNP cân tại M có 2 đường trung tuyến NE và PF cắt nhau tại điểm O a) Chứng minh NE và PF b) Chứng minh MO là đường phân giác của tam giác MNP
a: Xét ΔMEN và ΔMFP co
ME=MF
góc M chung
MN=NP
=>ΔMEN=ΔMFP
=>EN=FP
b: Xét ΔFNP và ΔEPN có
FN=EP
NP chung
FP=EN
=>ΔFNP=ΔEPN
=>góc ONP=góc OPN
=>ON=OP
Xét ΔMON và ΔMOP có
MO chung
ON=OP
MN=MP
=>ΔMON=ΔMOP
=>góc NMO=góc PMO
=>MO là phân giác của góc NMP
Cho ΔMNP có MD và NE là 2 đường trung tuyến cắt nhau tại G. Biết NE=9cm ; MG = 8cm. Tính NG và GD?
tam giác MNP cân tại M; 2 trung tuyến NE và PF cắt nhau tại H. C/m a)tg NPE=tg PNE b)tg HNP cân c) NP
a) Ta có: \(FN=\dfrac{1}{2}MN\) (F là trung điểm MN).
\(EP=\dfrac{1}{2}MP\) (E là trung điểm MP).
Mà MN = MP (Tam giác MNP cân tại M).
\(\Rightarrow FN=EP.\)
Xét tam giác NPE và tam giác PNF:
NP chung.
\(\widehat{N}=\widehat{P}\) (Tam giác MNP cân tại M).
\(FN=EP\left(cmt\right).\)
\(\Rightarrow\) Tam giác NPE = Tam giác PNF (c - g - c).
b) Tam giác NPE = Tam giác PNF (cmt).
\(\Rightarrow\widehat{ENP}=\widehat{FPN}.\)
\(\Rightarrow\) Tam giác HNP cân tại H.
tam giác MNP cân tại M; 2 trung tuyến NE và PF cắt nhau tại H. C/m
a)tg NPE=tg PNE
b)tg HNP cân
c) NP<4.HE
a: Xét ΔFNP và ΔEPN có
FN=EP
\(\widehat{FNP}=\widehat{EPN}\)
NP chung
Do đó: ΔFNP=ΔEPN
b: Xét ΔHNP có \(\widehat{HPN}=\widehat{HNP}\)
nên ΔHNP cân tại H
cho tam giác MNP cân tại M đường cao MH trung tuyến NE, PF ; O là trong tâm D là đx vs O qua E Q là đx vs O qua F . CMR a,NFEP là hinhthang cân b, MFHE là hthoi NPDQ là hcn d, tính S tam giác NMP biết NP=12cm MP = 10 cm
a) F là trung điểm MN; E là trung điểm MP ( giả thiết ) (1)
=> EF là đường trung bình của tam giác MNP
=> EF//=NP/2 (2)
mà Tam giác MNP cân tại M => MN=MP (3)
(1) , (3) => FM=FN=EM=EP (4)
(2), (4) => NFEP là hình thang cân
b) \(MH\perp NP\)(giả thiết ) (5)
(2), (5) => \(MH\perp EF\)(6)
Tam giác MNP cân tại M có M H là đường cao => MH là đường trung tuyên => H là trung điểm NP
Khi đó FH là đường trung bình tam giác MNP => FH //=ME=> FMEH là hình bình hành (7)
Từ (6); (7) => MFHE là hình thoi
c) EF là đường trung bình của OQD => EF//=QD/2 (8)
Từ (2), (8) => NP//=QD=> QNPD là hinh bình hành
OD=2 OE=NO => O là trung điểm ND
=> OH là đường trung bình tam giác NDP => OH//DP mà OH vuông NP => DP vuông NP (9)
Từ (8), (9) => QDPN là hình chữ nhật
c) NP=12 cm => HP=6 cm
=> \(MH=\sqrt{MP^2-HP^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\)
dienj tích MNP =\(\frac{1}{2}.12.8\)
Cho ΔMNP nhọn. Kẻ các đường cao NE và PF cắt nhau tại H.
a. Chứng minh rằng ME.MP = MN.MF và ΔMEF ∼ ΔMNP
b. Qua N kẻ đường thẳng // PF cắt tia MH tại I, MH cắt NP tại K. Chứng minh MH ⊥ NP từ đó suy ra NK2 = MK.KI
c. Chứng minh MN.MP = NE.PF + ME.MF
a) Xét ΔMEN vuông tại E và ΔMFP vuông tại F có
\(\widehat{NME}\) chung
Do đó: ΔMEN\(\sim\)ΔMFP(g-g)
Suy ra: \(\dfrac{ME}{MF}=\dfrac{MN}{MP}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(ME\cdot MP=MF\cdot MN\)(đpcm)
Cho tam giác MNP cân tại M ( M góc nhọn ). Kẻ NE vuông góc với MP tại E, kẻ PF vuông góc với MN tại F.
a, cm: tam giác MFP = tam giác MEN
b, gọi O là trg điểm của NE và PF. Cm MO là p.g cua góc NMP
c, Cm EF// NP
a) CÓ TAM GIÁC MNP CÂN TẠI M(gt)
=> MN=MP( ĐN TAM GIÁC CÂN)
XÉT TAM GIÁC MFP CÂN TẠI F VÀ TAM GIÁC MEN CÂN TẠI E CÓ:
MP=MN(CMT)
GÓC M CHUNG
=> TAM GIÁC MFP = TAM GIÁC MEN( CH-GN)
b)CÓ TAM GIÁC MFP = TAM GIÁC MEN( CM Ở CÂU a)
XÉT TAM GIÁC MFO VUÔNG TẠI F VÀ TAM GIÁC MEO VUÔNG TẠI E CÓ:
MO CHUNG
MF=ME( CMT)
=> TAM GIÁC MFO = TAM GIÁC MEO( CH-CGV)
=> GOC FMO = GÓC EMO( 2 GÓC TƯƠNG ỨNG)
=> MO LÀ TIA PHÂN GIÁC CỦA GÓC NMP
Cho tam giác MNP cân tại M có MH là đường cao
a) CM tam giác MHN = tam giác MHP
b) Đường trung tuyến Ne cắt MH tại G, biết GH= 6m . Tính độ dài đoạn thẳng MG
c) Trên tia đối tia HG lấy điểm C sao cho HG = HC. CM: MG= 2 HC
a: Xet ΔMHN vuông tại H và ΔMHP vuông tại H co
MN=MP
MH chung
=>ΔMHN=ΔMHP
b: Xet ΔMNP có
MH,NE là đường trung tuyến
MH cắt NEtại G
=>G là trọng tâm
=>MG=2GH=12m
c: MG=2GH
GH=HC
=>MG=2HC
Cho tam giác MNP có MN < MP . Gọi NE và PF lần lượt là trung tuyến ứng với cạnh MP và MN. So sánh NE và PF
Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O. Từ điểm P bất kì trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL (E thuộc BC, F thuộc AB).Các trung tuyến AK, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng các đoạn thẳng FM, MN, NE bằng nhau
Gọi Q là giao điểm của PF và AK ,I là giao điểm của PE và CL
Trong △ FPE ta có: PE//AK hay QM //PE
Suy ra: (định lí ta-lét) (1)
Trong △ ALO ta có:PF //CL hay FQ //LO
Suy ra: (định lí ta-lét) (2)
Trong △ ALC ta có: PF // CL
Suy ra: (định lí ta-lét) (3)
Từ (2) và (3) suy ra:
Vì LO = 1/3 CL (O giao điểm của hai đường trung tuyến) nên (4)
Từ (1) và (4) suy ra: ⇒ FM = 1/3 FE
Trong △ EPF ta có:PF // CL hay NI // PF
Suy ra: (định lí ta –lét) (5)
Trong △ CKO ta có: EI // OK
Suy ra: (định lí ta –lét) (6)
Trong △ CKA ta có:PE // AK
Suy ra: (định lí ta –lét) (7)
Từ (6) và (7) suy ra:
Vì OK = 1/3 AK (O là giao điểm của hai đường trung tuyến) nên (8)
Từ (5) và (8) suy ra: ⇒EN = 1/3 EF
Ta có: MN = EF - (EN + FM) = EF - (1/3 EF + 1/3 EF) = 1/3 EF
Vậy EN = MN = NF