Sửa đề

\(P=9x^2y^2+y^2-6xy-2y+2\)

\(=\left(9x^2y^2-6xy+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)\)

\(=\left(3xy-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\)

haizzz,em đã nghĩ sai đề từ khi mới làm ( hèn chi làm hoài ko ra )

\(BĐT\Leftrightarrow\frac{2-2xy}{2+x^2+y^2}+\frac{2x^2-2y}{1+2x^2+y^2}+\frac{2y^2-2x}{1+x^2+2y^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{2-2xy}{2+x^2+y^2}+1-\frac{2x^2-2y}{1+2x^2+y^2}+1-\frac{2y^2-2x}{1+x^2+2y^2}\le3\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)^2}{2+x^2+y^2}+\frac{\left(y+1\right)^2}{1+2x^2+y^2}+\frac{\left(x+1\right)^2}{1+x^2+2y^2}\le3\)(*)

Theo bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức: \(\frac{\left(x+y\right)^2}{2+x^2+y^2}\le\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{y^2}{1+y^2}\)(1); \(\frac{\left(y+1\right)^2}{1+2x^2+y^2}\le\frac{y^2}{x^2+y^2}+\frac{1}{x^2+1}\)(2); \(\frac{\left(x+1\right)^2}{1+x^2+2y^2}\le\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+1}\)(3)

Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\frac{\left(x+y\right)^2}{2+x^2+y^2}+\frac{\left(y+1\right)^2}{1+2x^2+y^2}+\frac{\left(x+1\right)^2}{1+x^2+2y^2}\le\)\(\left(\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2}\right)+\left(\frac{1}{y^2+1}+\frac{y^2}{y^2+1}\right)+\left(\frac{1}{x^2+1}+\frac{x^2}{x^2+1}\right)=3\)

Như vậy (*) đúng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1

\(\frac{1-xy}{2+x^2+y^2}+\frac{x^2-y^2}{1+2x^2+y^2}+\frac{y^2-x}{1+x^2+2y^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1-xy+3x^2-2y^2-2y^2+x}{\left(1+x^2+y^2\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(1+x^2+y^2\right)+x^2}{1+x^2+y^2}\ge0\)

Vì x² và y² >0

\(\Rightarrow2+\frac{x^2}{1+x^2+y^2}\ge0\)(luôn đúng)

Bạn nhatt quynhh xem lại bài bạn đi nha. Phô diễn kỹ thuật tí:

Bài này đúng với mọi x, y là các số thực. Thật vậy\(,\)

Bất đẳng thức đã cho tương đương với: (vô thống kê hỏi đáp mình xem LaTex nha, tại olm bị lỗi LaTex)

Ta có: .

Do đó để  là số chính phương thì .

Vậy x = y
-game là dễ 

Ta có: .

Do đó để  là số chính phương thì .

Vậy x = y

-Tham khảo:

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-cac-so-nguyen-duong-x-y-thoa-man-2x3y25x5y1-la-so-chinh-phuong-chung-minh-rang-xy.333530218330

Xét \(P=x^2+y^2+2x\left(y-1\right)+2y+1\) 

\(P=x^2+y^2+2xy-2x+2y+1\)

+) Nếu \(y>x\) thì \(2y-2x+1>0\). Do đó \(P>\left(x+y\right)^2\). Hơn nữa:

\(P< x^2+y^2+1+2xy+2x+2y\) \(=\left(x+y+1\right)^2\), 

suy ra \(\left(x+y\right)^2< P< \left(x+y+1\right)^2\), vô lí vì P là SCP.

+) Nếu \(x>y\) thì \(2y-2x+1< 0\) nên \(P< \left(x+y\right)^2\)

Hơn nữa \(P>x^2+y^2+1+2xy-2x-2y\) \(=\left(x+y-1\right)^2\)

Suy ra \(\left(x+y-1\right)^2< P< \left(x+y\right)^2\), vô lí vì P là SCP.

Vậy \(x=y\) (đpcm)

(Cơ mà nếu thay \(x=y\) vào P thì \(P=4x^2+1\) lại không phải là SCP đâu)

a) Vì 2y và 2008 đều là số chẵn nên 1003x cũng là số chẵn.

Mà 1003 × số chẵn = số chẵn nên x là số chẵn.

Vậy x chia hết cho 2

b) Để 1003x là số chẵn < 2008 thì x= 2

Suy ra y= 1

Vậy x= 2, y= 1