Cho a là số tự nhiênchia 6 dư 2 và b là số tự nhiên chia 6 dư 3. Chứng minh axb chia hết cho 6

Bài 1: 

Ta có: \(\left(\dfrac{1}{3}-1\right)\left(\dfrac{1}{6}-1\right)\left(\dfrac{1}{10}-1\right)\cdot...\cdot\left(\dfrac{1}{45}-1\right)\)

\(=\dfrac{-2}{3}\cdot\dfrac{-5}{6}\cdot\dfrac{-9}{10}\cdot...\cdot\dfrac{-44}{45}\)

\(=\dfrac{-2}{3}\cdot\dfrac{-5}{6}\cdot\dfrac{-9}{10}\cdot\dfrac{-14}{15}\cdot\dfrac{-20}{21}\cdot\dfrac{-27}{28}\cdot\dfrac{-35}{36}\cdot\dfrac{-44}{45}\)

\(=\dfrac{11}{27}\)

Câu 2: 

B=1+1/2+1/3+....+1/2010

 =(1+1/2010)+(1/2+1/2009)+(1/3+1/2008)+...(1/1005+1/1006)

 = 2011/2010+2011/2.2009+2011/3.2008+...+2011/1005.1006

 =2011.(1/2010+.....1/1005.1006)

Vậy B có tử số chia hết cho 2011 (đpcm).

Câu 3:

 \(P=\dfrac{2}{3}.\dfrac{4}{5}.\dfrac{6}{7}....\dfrac{98}{99}\\ P< \dfrac{3}{4}.\dfrac{5}{6}.\dfrac{6}{7}....\dfrac{99}{100}\\ P^2< \dfrac{2}{100}\)

Mà

 \(\dfrac{2}{100}=\dfrac{1}{50}< \dfrac{1}{49}\\ \Rightarrow P< \dfrac{1}{7}\)

Bạn tính ra rồi lấy tử rồi chứng minh        

Bài 1

a) 3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + 3⁷ = 3⁴(1 + 3 + 3² + 3³)\

b) a)A = 1 + 3 + 3² +......3⁹⁹ =(1 + 3 +  3² + 3³ ) + ...+(3⁹⁶ + 3⁹⁷ + 3⁹⁸ + 3⁹⁹)

                                          =   (1 + 3 +  3² + 3³ ) + .. +3⁹⁶(1 + 3 +  3² + 3³ )

                                          = 40 + ... + 3⁹⁶ . 40 

                                          = 40 (1 + 3 +...+ 3⁹⁶) chia hết cho 40

Bài 2 

a)

+)A chia hết cho 6

\(A=5+5^2+5^3+...+5^{2004}\)

\(A=\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+...+\left(5^{2003}+5^{2004}\right)\)

\(A=\left(5+5^2\right)+5^2\left(5+5^2\right)+...+5^{2002}\left(5+5^2\right)\)

\(A=30+5^2.30+...+5^{2002}.30\)

\(A=30\left(1+5^2+...+5^{2002}\right)\)chia hết cho 6

+)A chia hết cho 31

\(A=5+5^2+5^3+...+5^{2004}\)

\(A=\left(5+5^2+5^3\right)+\left(5^4+5^5+5^6\right)+...+\left(5^{2002}+5^{2003}+5^{2004}\right)\)

\(A=\left(5+5^2+5^3\right)+5^3\left(5+5^2+5^3\right)+...+5^{2001}\left(5+5^2+5^3\right)\)

\(A=155+5^3.155+...+5^{2001}.155\)

\(A=155\left(1+5^3+...+5^{2001}\right)\)chia hết cho 31

+) A chia hết cho 156

\(A=5+5^2+5^3+...+5^{2004}\)

\(A=\left(5+5^2+5^3+5^4\right)+\left(5^5+5^6+5^7+5^8\right)+...+\left(5^{2001}+5^{2002}+5^{2003}+5^{2004}\right)\)

\(A=\left(5+5^2+5^3+5^4\right)+5^4\left(5+5^2+5^3+5^4\right)+...+5^{2000}\left(5+5^2+5^3+5^4\right)\)

\(A=780+5^4.780+...+5^{2000}.780\)

\(A=780\left(1+5^4+...+5^{2000}\right)\)chia hết cho 156

b)B=165+2^15 chia hết cho 33

ta có 165 chia hết cho 33

mà 2¹⁵ ko chia hết cho 33

vậy 165+2^15 không chia hết cho 33 hay B không chia hết cho 33.

chứng tỏ A= 1+\(3^1\)+\(3^2\)+....+\(3^{99}\)là B(4) và là B (40).

 a,

n kog chia hết cho 3. Ta có: n = 3k +1 và n = 3k+2

TH1: n² : 3 <=> (3k+1)² : 3 = (9k²+6k+1) : 3 => dư 1

TH2: n² : 3 <=> (3k+2)² : 3 = (9k²+12k+4) : 3 = (9k²+12k+3+1) : 3 => dư 1 

các phần sau làm tương tự.

Ta có :

\(\frac{m}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\left(1+\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)\)

\(=\frac{7}{6}+\frac{7}{10}+\frac{7}{12}=\frac{7.21}{60}\)

vì tử số của phân số \(\frac{m}{n}\)bằng 7 . 21 m nên chia hết cho 7