Ta có phương trình :

\(x^2y+x^2=x^3-y+2x+7\)

\(\Leftrightarrow x^2y+y=x^3-x^2+2x+7\)

\(\Leftrightarrow y.\left(x^2+1\right)=x^3-x^2+2x+7\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{x^3-x^2+2x+7}{x^2+1}\)

Do \(y\inℤ\rightarrow\frac{x^3-x^2+2x+7}{x^2+1}\inℤ\). Lại có \(x\inℤ\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^3-x^2+2x+7\inℤ\\x^2+1\inℤ\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x^3-x^2+2x+7⋮x^2+1\)

\(\Leftrightarrow x.\left(x^2+1\right)-\left(x^2+1\right)+x+8⋮x^2+1\)

\(\Leftrightarrow x+8⋮x^2+1\)

\(\Rightarrow\left(x+8\right)\left(x-8\right)⋮x^2+1\)

\(\Leftrightarrow x^2+1-65⋮x^2+1\)

\(\Leftrightarrow65⋮x^2+1\)\(\Leftrightarrow x^2+1\inƯ\left(65\right)\). Mà : \(x^2+1\ge1\forall x\)

\(\Rightarrow x^2+1\in\left\{1,5,13,65\right\}\)

\(\Leftrightarrow x^2\in\left\{0,4,12,64\right\}\). \(x^2\) là số chính phương với \(x\inℤ\)

\(\Rightarrow x^2\in\left\{0,4,64\right\}\Rightarrow x\in\left\{0,2,-2,8,-8\right\}\)

+) Với \(x=0\) thì \(y=7\) ( Thỏa mãn )

+) Với \(x=2\) thì \(y=3\) ( Thỏa mãn )

+) Với \(x=-2\) thì \(y=-\frac{9}{5}\) ( Loại )

+) Với \(x=8\) thì \(y=\frac{471}{65}\) ( Loại )

+) Với \(x=-8\) thì \(y=-9\) ( Thỏa mãn )

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(-8,-9\right);\left(0,7\right);\left(2,3\right)\right\}\)

2x³-x²y+3x²+2x-y=2

(2x³+2x)-(x²y+y)+(3x²+3)=5

2x(x²+1)-y(x²+1)+3(x²+1)=5

(x²+1)(2x-y+3)=5

Mà x²>=0 => x²+1>0

=> (x²+1)(2x-y+3)=5=1.5=5.1

•x²+1=1 và 2x-y+3=5 => x=0; y=-2

•x²+1=5 và 2x-y+3=1=> x=2;y=6 hoặc x=-2; y=-2

Vậy (x;y) là (0;-2);(2;6);(-2;-2)

\(\left(3x+2y\right)\left(2x-y\right)^2=7\left(x+y\right)-2\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+2y\right)\left(2x-y\right)^2-7\left(x+y\right)+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+2y\right)\left(2x-y\right)^2-7x-7y+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+2y\right)\left(2x-y\right)^2-\left(9x+6x\right)+\left(2x-y\right)+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+2y\right)\left(2x-y\right)^2-3\left(3x+2y\right)+\left(2x-y\right)+2=0\)

Đặt \(3x+2y\) = a ,đặt \(2x-y\) = b, ta có:

\(ab^2-3a+b+2=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(b^2-3\right)=-2-b\)

\(\Leftrightarrow a=\dfrac{-2-b}{b^2-3}\)

\(\Leftrightarrow a=\dfrac{b+2}{3-b^2}\\ \Leftrightarrow a\left(2-b\right)=\dfrac{4-b^2}{3-b^2}\)

\(\Leftrightarrow a\left(2-b\right)=\dfrac{3-b^2+1}{3-b^2}\\ \Leftrightarrow a\left(2-b\right)=1+\dfrac{1}{3-b^2}\\ \Leftrightarrow1⋮3-b^2\\ \Leftrightarrow b^2-3\in\left\{1;-1\right\}\\ \Leftrightarrow b^2\in\left\{4;2\right\}\\ \)

mà 2 không chính phương

\(\Rightarrow b\in\left\{2;-2\right\}\Rightarrow a=0\)

đến đây bạn tự giải tiếp

chiu roi

ban oi

tk nhe

\(5x^2+x\left(5y-7\right)+5y^2-14y=0\)

\(\Delta=\left(5y-7\right)^2-4.5.\left(5y^2-14y\right)=-75y^2+210y+49\)

Để PT có nghiệm nguyên thì \(\Delta\ge0\)

từ đó tìm được các giá trị nguyên của y, rồi tìm được x

1.

$3xy+x-y=1$

$\Rightarrow x(3y+1)-y=1$

$\Rightarrow 3x(3y+1)-3y=3$

$\Rightarrow 3x(3y+1)-(3y+1)=2$

$\Rightarrow (3y+1)(3x-1)=2$

Do $x,y$ là số nguyên nên $3x-1, 3y+1$ là số nguyên. Mà tích của chúng bằng 2 nên ta có các TH sau:

TH1: $3x-1=1, 3y+1=2\Rightarrow x=\frac{2}{3}$ (loại) 

TH2: $3x-1=-1, 3y+1=-2\Rightarrow x=0; y=-1$

TH3: $3x-1=2, 3y+1=1\Rightarrow x=1; y=0$

TH4: $3x-1=-2, 3y+1=-1\Rightarrow x=\frac{-1}{3}$ (loại)

2.

$2x^2+3xy-2y^2=7$

$\Rightarrow (x+2y)(2x-y)=7$

Ta xét các TH sau:

TH1: $x+2y=1, 2x-y=7$

$\Rightarrow 2(x+2y)-(2x-y)=2-7=-5$

$\Leftrightarrow 5y=-5\Leftrightarrow y=-1$.

$x=1-2y=1-2(-1)=1+2=3$

TH2: $x+2y=-1, 2x-y=-7$

$\Rightarrow x=-3; y=1$

TH3: $x+2y=7, 2x-y=1$

$\Rightarrow x=\frac{9}{5}$ (loại) 

TH4: $x+2y=-7, 2x-y=-1$

$\Rightarrow x=\frac{-9}{5}$ (loại)

Vậy.............

\(5x^2+2\left(3y+1\right)x+2y^2+2y-73=0\) (1)

\(\Delta'=\left(3y+1\right)^2-5\left(2y^2+2y-73\right)=-y^2-4y+366\)

\(\Delta'\) là số chính phương \(\Rightarrow-y^2-4y+366=k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(y+2\right)^2+k^2=370=3^2+19^2=9^2+17^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y+2=3\\y+2=19\\y+2=9\\y+2=17\end{matrix}\right.\) thế vào (1) tìm x nguyên dương