a) Gọi \(O\)là giao điểm \(AC\)và \(BD\). 

Theo bất đẳng thức tam giác ta có: 

\(OA+OB>AB,OB+OC>BC,OC+OD>CD,OD+OA>AD\)

Cộng lại vế theo vế ta được: 

\(2\left(OA+OB+OC+OD\right)>AB+BC+CD+DA\)

\(\Leftrightarrow AC+BD>\frac{1}{2}\left(AB+BC+CD+DA\right)\).

b) Theo bất đẳng thức tam giác: 

\(AC< AB+BC,AC< CD+DA,BD< AB+DA,BD< BC+CD\)

Cộng lại vế theo vế ta được:

\(2\left(AC+BD\right)< 2\left(AB+BC+CD+DA\right)\)

\(\Leftrightarrow AC+BD< AB+BC+CD+DA\).

a: Xét ΔABD và ΔBDC có

\(\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AD}{BC}\left(\dfrac{3}{6}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{5}{10}\right)\)

Do đó: ΔABD~ΔBDC

b: Ta có: ΔABD~ΔBDC

=>\(\widehat{ABD}=\widehat{BDC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//DC
=>ABCD là hình thang

mình mới học lớp 7

+) Dễ có tam giác OAB đồng dạng với tam giác ODC (góc AOB = DOC do đối đỉnh; góc BAC = BDC do góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

=> \(\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}=\frac{AB}{DC}=\frac{a}{c}\)

+) Tương tự, tam giác OAD đồng dạng với tam giác OBC (g - g)

=> \(\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}=\frac{AD}{BC}=\frac{b}{d}\) 

+) Ta có: \(\frac{OB}{OC}+\frac{OD}{OC}=\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{ad+bc}{cd}\)=> \(\frac{OB+OD}{OC}=\frac{BD}{OC}=\frac{ad+bc}{cd}\Rightarrow\frac{OC}{BD}=\frac{cd}{ad+bc}\) (1)

+) ta có: \(\frac{OA}{OD}=\frac{a}{c};\frac{OA}{OB}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{OD}{OA}=\frac{c}{a};\frac{OB}{OA}=\frac{d}{b}\)

=> \(\frac{OD}{OA}+\frac{OB}{OA}=\frac{BD}{OA}=\frac{c}{a}+\frac{d}{b}=\frac{bc+ad}{ab}\Rightarrow\frac{OA}{BD}=\frac{ab}{bc+ad}\)(2)

Từ (1)(2) => \(\frac{OC}{BD}+\frac{OA}{BD}=\frac{cd+ab}{ad+bc}\Rightarrow\frac{AC}{BD}=\frac{ab+cd}{ad+bc}\)

Xét \(\Delta\)AOD ta có: AO + OD > AD (trong 1 tam giác tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại)

Xét \(\Delta\) OCD ta có: BO + OC > BC ( trong 1 tam giác tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại)

Cộng vế với vế ta có: AO + OD + BO + OC > AD + BC 

                                  (AO + OC) + ( OD + OB > AD + BC

                                   AC+ BD > AD + BC 

Chứng Minh tương tự ta có: AC + BD > AB + CD