Đặt \(k=\frac{x}{8}=\frac{y}{3}=\frac{z}{10}\)

Ta có: \(x=8k;y=3k;z=10k\)  (*)

Thay vào đẳng thức \(xy+yz+zx=206\) ta được:

  \(8k.3k+3k.10k+10k.8k=206\)

\(\Leftrightarrow24k^2+30k^2+80k^2=206\)

\(\Leftrightarrow24k^2+30k^2+80k^2=206\)

\(\Rightarrow k=\pm\sqrt{\frac{103}{67}}\)

Thay k vào (*) tính được x, y, z

1)Nếu a=b thì a*b=a*a=b*b=a²=b²

2)Nếu x-y=0 thì x=y =>x*y>=0

1) a²=b²

2) x-y=0 => x=y => x.y bằng 1 số nguyên dương hoặc =0 

Theo đề bài ta có:

 ; 

cân bằng phương trình  bằng cách nhân x vào cả hai vế ta có:

cân bằng phương trình  bằng cách nhân y vào cả hai vế ta có:

cân bằng phương trình  bằng cách nhân z vào cả hai vế ta có:

vì 

Vì   Có cùng số mũ và bằng nhau

Nên các cơ số cũng bằng nhau

Ta có: \(x^2=y\cdot z\)

nên \(z=\dfrac{x^2}{y}\)(1)

Ta có: \(y^2=z\cdot x\)

nên \(z=\dfrac{y^2}{x}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{x^2}{y}=\dfrac{y^2}{x}\)

\(\Leftrightarrow x^3=y^3\)

hay x=y(3)

Ta có: \(x^2=y\cdot z\)

nên \(y=\dfrac{x^2}{z}\)(4)

Ta có: \(z^2=x\cdot y\)

nên \(y=\dfrac{z^2}{x}\)(5)

Từ (4) và (5) suy ra \(\dfrac{x^2}{z}=\dfrac{z^2}{x}\)

\(\Leftrightarrow x^3=z^3\)

hay x=z(6)

Từ (3) và (6) suy ra x=y=z(đpcm)

\(x^2=yz\Rightarrow\dfrac{x}{y}=\dfrac{z}{x}\\ y^2=zx\Rightarrow\dfrac{y}{z}=\dfrac{x}{y}\\ z^2=xy\Rightarrow\dfrac{z}{x}=\dfrac{y}{z}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{z}=\dfrac{z}{x}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{z}=\dfrac{z}{x}=\dfrac{x+y+z}{x+y+z}=1\\ \Rightarrow\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{z}=\dfrac{z}{x}=1\\ \Rightarrow x=y=z\)

Lời giải:

Ta có:

\(A=\frac{x}{xy+x+1}+\frac{y}{yz+y+1}+\frac{z}{zx+z+1}\)

\(A=\frac{xz}{xyz+xz+z}+\frac{y.xz}{yz.xz+y.xz+xz}+\frac{z}{zx+z+1}\)

\(A=\frac{xz}{1+xz+z}+\frac{1}{z+1+xz}+\frac{z}{xz+z+1}\) (thay \(xyz=1\) )

\(A=\frac{xz+1+z}{1+xz+z}=1\)

x= 1

y=1

z=1

x=1

y=1

z=1