Nếu tg ABC cân tại A

Dễ thấy \(\Delta AEC=\Delta ADB\left(ch-gn\right)\)

Do đó \(AE=AF\Rightarrow\Delta AEF\) cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{ADE}\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AED}=\widehat{HEB}\\\widehat{ADE}=\widehat{CKD}\end{matrix}\right.\Rightarrow\widehat{HEB}=\widehat{CKD}\)

Mà \(\widehat{EHB}=\widehat{DKC}\left(=90^0\right);BE=CD\left(AB-AE=AC-AD\right)\)

Do đó \(\Delta BHE=\Delta CKD\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow BH=CK\)

Mà \(BH//CK\left(\perp HK\right)\)

Do đó BCKH là hbh

Mà \(\widehat{KHB}=90^0\) nên BCKH là hcn

gọi O là tr.điểm BC,I là tr.điểm DE

tam giác BEC có O là tr.điểm DE nên OE là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

=>OE=OB=OC(=1/2BC)

CMTT có OD=OB=OC(=1/2BC)

=>OE=OD=>tam giác ODE cân tại O

tam giác ODE cân ở O có OI là trung tuyến (I là tr.điểm DE) nên OI cũng là đg cao

=>OI _|_ ED hay OI _|_ HK

Mà BH _|_ HK , CK _|_ HK

=>OI//BH//CK => BCKH là hình thang

Dễ CM I là tr.điểm HK => IH=IK

Có IE+EH=IH , ID+DK=IK ,mà IH=IK,IE=ID

=>EH=DK

Tam giác ABC cân tại A => góc ABC = ACB => tam giác BEC = CDB (cạnh huyền - góc nhọn  )

=> BE = CD; Mà AB = AC => \(\frac{BE}{AB}=\frac{CD}{AC}\). Theo ĐL Ta - let => DE // BC

=> HK // BC Mà CK // BH (vì cùng vuông góc với DE )

=> Tứ giác BCKH là hbh có: góc BHK vuông => BCKH là hcn

 Gọi M là trung điểm của BC, dễ dàng chứng minh được tam giác MDE cân ở đỉnh M.
Gọi I là trung điểm của DE thìgiacsvuoong góc DE, suy ra MI // BH //CE. MI là đường trung bình của hình thang BHKC, ta có IH = IK.
     Từ đó suy ra IH-  IE = IK - ID.
     do đó             HE = KD. 

Gọi O là tr.điểm BC,I là tr.điểm DE

tam giác BEC có O là tr.điểm DE nên OE là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

=>OE=OB=OC(=1/2BC)

CMTT có OD=OB=OC(=1/2BC)

=>OE=OD=>tam giác ODE cân tại O

Tam giác ODE cân ở O có OI là trung tuyến (I là tr.điểm DE) nên OI cũng là đg cao

=>OI _|_ ED hay OI _|_ HK

Mà BH _|_ HK , CK _|_ HK

=>OI//BH//CK => BCKH là hình thang

Dễ CM I là tr.điểm HK => IH=IK

Có IE+EH=IH , ID+DK=IK ,mà IH=IK,IE=ID

=>EH=DK

1.

a. CN và BM cùng vuông góc DE nên CN//BM

\(\Rightarrow\) BMNC là hình thang vuông tại M và N

b. Theo giả thiết BD vuông góc CA \(\Rightarrow\Delta BDC\) vuông tại D

\(\Rightarrow DO\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC \(\Rightarrow DO=\dfrac{1}{2}BC\)

Tương tự trong tam giác vuông BEC thì EO là trung tuyến ứng với cạnh huyền

\(\Rightarrow EO=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow DO=EO\Rightarrow\) tam giác cân tại O

c. Tam giác DEO cân tại O, mà P là trung điểm DE \(\Rightarrow OP\) là trung tuyến đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow OP\perp DE\) \(\Rightarrow OP//CN//BM\)

Mà O là trung điểm BC \(\Rightarrow OP\) là đường trung bình hình thang BMNC

\(\Rightarrow OP=\dfrac{CN+BM}{2}\)

2. Đặt biểu thức là A

Với \(p=2\) ko thỏa mãn

Với \(p=3\Rightarrow A=71\) là SNT

Với \(p>3\) do p là SNT nên p chỉ có 2 dạng \(p=3k+1\) hoặc \(3k+2\)

- Với \(p=3k+1\Rightarrow p^3\) chia 3 dư 1, \(p^2\) chia 3 dư 1, \(11p=9p+2p\) chia 3 dư 2

\(\Rightarrow A\) chia 3 dư 1+1+2+2=6 chia hết cho 3 (ko là SNT) loại

- Với \(p=3k+2\) tương tự, \(p^3\) chia 3 dư 2, \(p^2\) chia 3 dư 1, \(11p\) chia 3 dư 1

\(\Rightarrow\) A chia 3 dư 2+1+1+2=6 vẫn chia hết cho 3 (loại)

Vậy \(p=3\) là giá trị duy nhất thỏa mãn

SNT thì thường quy về xét số dư thôi bạn, mà dễ nhất thường là số dư cho 3 nên đầu tiên cứ kiểm tra với số 3