Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:

\(S=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{3}{4xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{4xy}+\frac{1}{4xy}\)

\(=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\frac{1}{4xy}\)

\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{4\cdot\frac{1}{4}}=4+1=5\)

Xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Chắc đề đúng là số dương, vì ko tồn tại x;y nguyên dương thỏa mãn x+y=1

\(A=\dfrac{y^2}{xy+y}+\dfrac{x^2}{xy+x}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y+2xy}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y+\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2}=\dfrac{2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Nhận xét :

x² lớn hơn 0 ( với mọi x dương )

y² lớn hơn 0 ( với mọi y dương )

Để A_min => \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\) Min => x²  và y²  max 

Nhưng x + y = 2 

=> x = y = 1 

A min = \(\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{3}{1}=5\) 

Vậy A min = 5 <=>  x = y = 1

\(A=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{3}{xy}\) và x + y = 2

AM-GM => x + y >= \(2\sqrt{xy}\)

=> \(2\sqrt{xy}\)<= 2

=> xy <= 1

\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{1}{xy}\)

=> A >= 1/xy + 3/xy

=> A >= 4/xy

mà xy <= 1

=> A >= 4/1

=> A>= 4 

dấu bằng sảy ra khi x = y = 2/2 = 1

Vậy GTNN của A là 4 khi x = y = 1

Nhầm 1/x^2 + 1/y^2 >= 2/xy

=> A >= 5

khi x = y = 1 nhé

Đề thì vừa đúng vừa sai. Đề đúng vì max cần tìm là có thật. Nhưng đề sai vì kết quả quá xấu (thậm chí đến WolframAlpha còn giải ko trọn vẹn mà chỉ ra xấp xỉ).

Ý tưởng thế này: Đặt \(X=\sqrt{x}\) thì \(\sqrt{y}=\frac{1}{X}\) nên viết lại biểu thức thành:

\(Q=\frac{1}{X+2}+\frac{1}{X+\frac{1}{X}+1}+\frac{1}{\frac{1}{X}+1}=\frac{X^4+5X^3+8X^2+6X+1}{\left(X+1\right)\left(X+2\right)\left(X^2+X+1\right)}\)

Tới đây có giải cũng ko được đâu, vì...

Theo WolframAlpha thì quả thật biểu thức có max nhưng giá trị đó là:

\(Q\approx1,20411\) tại \(X\approx1,75108\).

Khi mình tra sâu hơn về cái giá trị \(X\) trên kia thì nhận ra giá trị đó là nghiệm của pt

\(x^6+4x^5+5x^4-6x^3-22x^2-20x-7=0\) (giải kiểu gì???)

Mình nghĩ đề bài đã cho điều kiện x,y là hai số dương có tích bằng 1 thì nên áp dụng bất đẳng thức AM-GM sẽ phù hợp với chương trình lớp 9

cơ mà bạn tra sâu hơn về giá trị x như thế nào để biết x là nghiệm của phương trình trên :v tò mò quá

\(P+3=\frac{x^3}{y^2}+x+\frac{y^3}{z^2}+y+\frac{z^3}{x^2}+z\)

\(P+3\ge2\sqrt{\frac{x^4}{y^2}}+2\sqrt{\frac{y^4}{z^2}}+2\sqrt{\frac{z^4}{x^2}}=2\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\right)\)

Theo bất đẳng thức Svacso ta có

\(P+3\ge2\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\right)\ge2\left(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}\right)=2\left(x+y+z\right)=6\)

dấu = xay ra khi x = y = z = 1

\(\Rightarrow P\ge3\)

\(P+3=\frac{x^3}{y^2}+x+\frac{y^3}{z^2}+y+\frac{z^3}{x^2}+z\ge2\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\right)\)

\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=2\left(x+y+z\right)=6\)

\(\Leftrightarrow P\ge3\)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có: \(\frac{x^3}{y^2}+x\ge2\sqrt{\frac{x^4}{y^2}}=2.\frac{x^2}{y}\)

\(\frac{x^2}{y}+y\ge2\sqrt{x^2}=2x\Rightarrow2.\frac{x^2}{y}+2y\ge4x\Rightarrow2.\frac{x^2}{y}\ge4x-2y\)

Từ đó suy ra \(\frac{x^3}{y^2}+x\ge4x-2y\Rightarrow\frac{x^3}{y^2}\ge3x-2y\)

Tương tự, ta có: \(\frac{y^3}{z^2}\ge3y-2z\); \(\frac{z^3}{x^2}\ge3z-2x\)

\(\Rightarrow P\ge3\left(x+y+z\right)-2\left(x+y+z\right)=x+y+z=3\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Áp dụng BĐT Cauchy ta có: \(xy+\frac{1}{xy}\ge2\sqrt{xy\cdot\frac{1}{xy}}=2\)

Vậy \(M\text{inS}=2\) với mọi \(x;y\ge1\)

Bạn tham khảo:

Câu hỏi của Phạm Minh Quang - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Giờ bạn cần bài này nữa không 

1.   Đặt A = x²+y²+z²

             B = xy+yz+xz

             C = 1/x + 1/y + 1/z

Lại có (x+y+z)²=9

             A + 2B = 9

  Dễ chứng minh A>=B 

      Ta thấy 3A>=A+2B=9 nên A>=3 (khi và chỉ khi x=y=z=1)

Vì x+y+z=3 => (x+y+z) /3 =1 

    C = (x+y+z) /3x  +  (x+y+x) /3y + (x+y+z)/3z

C = 1/3[3+(x/y+y/x) +(y/z+z/y) +(x/z+z/x) 

Áp dụng bất đẳng thức (a/b+b/a) >=2

=> C >=3 ( khi và chỉ khi x=y=z=1)

P =2A+C >= 2.3+3=9 ( khi và chỉ khi x=y=x=1

Vậy ...........

Câu 2 chưa ra thông cảm 

Với x, y thực dương áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(P=\frac{16\sqrt{xy}}{x+y}+\frac{x^2+y^2}{xy}\)

\(=\frac{16\sqrt{xy}}{x+y}+\frac{\left(x+y\right)^2-2xy}{xy}\)

\(=\frac{16\sqrt{xy}}{x+y}+\left(\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}+4\right)-6\)

\(\ge\frac{16\sqrt{xy}}{x+y}+2\sqrt{\frac{4\left(x+y\right)^2}{xy}}-6\)

\(=\frac{16\sqrt{xy}}{x+y}+\frac{4\left(x+y\right)}{\sqrt{xy}}-6\)

\(\ge2\sqrt{\frac{16\sqrt{xy}}{x+y}.\frac{4\left(x+y\right)}{xy}}-6=2\sqrt{16.4}-6=10\)

Vậy P_min = 10 tại x = y.

áp dụng bđt cauchy ->x+y\(\supseteq\)2\(\sqrt{xy}\)

x²+y²\(\supseteq\)2xy

nên P\(\supseteq\)\(\frac{16\sqrt{xy}}{2\sqrt{xy}}\)+\(\frac{2xy}{xy}\)=8+2=10

dấu = xảy ra\(\Leftrightarrow\)x=y

Bạn #ductuannguyen SAI.