lê thị thu huyền

cho x và y là hai số dương có tổng bằng 1

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(S=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{3}{4xy}\)

alibaba nguyễn
13 tháng 10 2017 lúc 15:13

Ta có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow4xy\le1\)

\(S=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{3}{4xy}\)

\(=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}\)

\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+\frac{1}{1}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+1=\frac{4}{1}+1=5\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Bình luận (0)
Lã Hoàng Hải Linh
13 tháng 10 2017 lúc 15:13

Áp dụng BĐT AM - MG ta có :

\(xy\)\(\le\)\(\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)\(=\)\(\frac{1}{4}\)

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz dạng Engel :

\(S\)\(=\)\(\frac{1}{x^2+y^2}\)\(-\)\(\frac{3}{4xy}\)\(=\)\(\frac{1}{x^2+y^2}\)\(-\)\(\frac{2}{4xy}\)\(-\)\(\frac{1}{4xy}\)

\(=\)\(\frac{1}{x^2+y^2}\)\(-\)\(\frac{1}{2xy}\)\(-\)\(\frac{1}{4xy}\)\(\ge\)\(\frac{\left(1-1\right)^2}{x^2-y^2-2xy}\)\(-\)\(\frac{1}{4xy}\)

\(\ge\)\(\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2}\)\(-\)\(\frac{1}{4.\frac{1}{4}}\)\(=\)\(4\)\(-\)\(1\)\(=\)\(5\)

Xảy ra khi  \(x\)\(=\)\(y\)\(=\)\(\frac{1}{2}\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Trần Hữu Ngọc Minh
Xem chi tiết
Doãn Đức Khôi
Xem chi tiết
Phan Khanh Duy
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Cẩm Nhi
Xem chi tiết
Lê Minh Đức
Xem chi tiết
Asuna Yuuki
Xem chi tiết
Phạm Thị Bắc
Xem chi tiết
Tuan Mai Thi
Xem chi tiết
Vô Danh
Xem chi tiết