Ch x,y, z là các số dương. Chứng minh rằng: \(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}< \sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\sqrt{x}+3\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+3\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}+3\sqrt{x}}\ge\frac{1}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{y}+2\sqrt{z}+\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{z}+2\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)
Có ba số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:
\(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{z}+\frac{\sqrt{y}+\sqrt{z}}{x}+\frac{\sqrt{z}+\sqrt{x}}{y}>\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt{y}}+\frac{2}{\sqrt{z}}\)
Đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\)
BĐT cần chứng minh: \(\frac{a+b}{c^2}+\frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(VT=a\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+b\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}\right)+c\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\ge2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)\)
Mà: \(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{b}\) ; \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}\ge\frac{2}{c}\) ; \(\frac{c}{ab}+\frac{b}{ac}\ge\frac{2}{a}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) (đpcm)
x, y, z, t là các số dương và \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{t}=4\). chứng minh rằng: \(\frac{\sqrt{x}}{1+y}+\frac{\sqrt{y}}{1+z}+\frac{\sqrt{z}}{1+t}+\frac{\sqrt{t}}{1+x}\ge2\)
Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện : \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=1\) . Chứng minh rằng : \(\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{z}{y}}+\sqrt{\frac{x}{z}}\)≤1
cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=1\)
chứng minh rằng \(\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{z}{y}}+\sqrt{\frac{x}{z}}\le1\)
\(1=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{y}\right)\)
\(\ge\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}}+\sqrt{\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}+\sqrt{\frac{z}{x}.\frac{x}{y}}=VP\) (rút gọn lại thôi:v)
Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng:
\(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\le\frac{3\sqrt{3}}{2}\) nếu x + y + z = xyz
Cho x,y,z là các số dương và \(x+y+z\ge3\)
chứng minh rằng \(P=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}\ge3\)
Đặt \(a=\sqrt{x},b=\sqrt{y},c=\sqrt{z}\left(a,b,c>0\right)\)
Khi đó
\(P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)và \(a^2+b^2+c^2\ge3\)
<=>\(P=\frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{cb^2}+\frac{c^4}{ac^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+cb^2+ac^2}\)(bất đẳng thức cosi schwaz)
Ta có
\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a^3+b^2a\right)+\left(b^3+bc^2\right)+\left(c^3+ca^2\right)+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
\(\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
=> \(a^2b+b^2c+c^2a\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\le\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}\)
Khi đó
\(P\ge\sqrt{3}.\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sqrt{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}}=\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge3\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 => x=y=z=1
Đúng 0
Bình luận (0)
cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãnxy+yz+zx1. Chứng minh rằng text{x/căn(1+x^2)+y/căn(1+y^2)+z/căn(1+z^2)+1/x^2+1/y^2+1/z^221/2}frac{x}{sqrt{1+x^2}}+frac{y}{sqrt{1+y^2}}+frac{z}{sqrt{1+z^2}}+frac{1}{x^2}+frac{1}{y^2}+frac{1}{z^2}gefrac{21}{2}frac{x}{sqrt{1+x^2}}+frac{y}{sqrt{1+y^2}}+frac{z}{sqrt{1+z^2}}+frac{1}{x^2}+frac{1}{y^2}+frac{1}{z^2}gefrac{21}{2}
Đọc tiếp
cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn\(xy+yz+zx=1\). Chứng minh rằng \(\text{x/căn(1+x^2)+y/căn(1+y^2)+z/căn(1+z^2)+1/x^2+1/y^2+1/z^2>=21/2}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge\frac{21}{2}\)
\(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge\frac{21}{2}\)
Đặt \(P=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
Do x,y,z là các số thực dương nên ta biến đổi \(P=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{y^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
Đặt \(a=\frac{1}{x^2};b=\frac{1}{y^2};c=\frac{1}{z^2}\left(a,b,c>0\right)\)thì \(xy+yz+zx=\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}=1\)và \(P=\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\frac{1}{\sqrt{1+b}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}+a+b+c\)
Biến đổi biểu thức P=\(\left(\frac{1}{2\sqrt{a+1}}+\frac{1}{2\sqrt{a+1}}+\frac{a+1}{16}\right)+\left(\frac{1}{2\sqrt{b+1}}+\frac{1}{2\sqrt{b+1}}+\frac{b+1}{16}\right)\)\(+\left(\frac{1}{2\sqrt{c+1}}+\frac{1}{2\sqrt{c+1}}+\frac{c+1}{16}\right)+\frac{15a}{16}+\frac{15b}{16}+\frac{15c}{b}-\frac{3}{16}\)
Áp dụng Bất Đẳng Thức Cauchy ta có
\(P\ge3\sqrt[3]{\frac{a+1}{64\left(a+1\right)}}+3\sqrt[3]{\frac{b+1}{64\left(b+1\right)}}+3\sqrt[3]{\frac{c+1}{64\left(c+1\right)}}+\frac{15a}{16}+\frac{15b}{16}+\frac{15c}{16}-\frac{3}{16}\)
\(=\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\left(a+b+c\right)\ge\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot3\sqrt[3]{abc}\)
Mặt khác ta có \(1=\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\Leftrightarrow abc\ge27\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot3\sqrt[3]{27}=\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot9=\frac{21}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c hay \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Chứng minh \(\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge2\)\(\ge2\)với x,y,z là các số dương
\(\sqrt{x\left(y+z\right)}\le\frac{x+y+z}{2}\)( Cauchy)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{x}{y+z}}=\frac{x}{\sqrt{x\left(y+z\right)}}\le\frac{x}{\frac{x+y+z}{2}}=\frac{2x}{x+y+z}\)
Chứng minh tương tự:
\(\sqrt{\frac{y}{x+z}}\le\frac{2y}{x+y+z};\sqrt{\frac{z}{x+y}}\le\frac{2z}{x+y+z}\)
Cộng theo vế suy ra đocn. Dấu "=" ko xảy ra
Đúng 0
Bình luận (0)