Ta có 3 trường hợp:

+ n chia hết cho 3

+ n chia 3 dư 1

+ n chia 3 dư 2

~ Với trường hợp n chia hết cho 3, ta có:

n^2 chia hết cho 3

n chia hết cho 3

2012 không chia hết cho 3

=> n^2 + n +2012 không chia hết cho 3 (1)

~ Với trường hợp n chia 3 dư 1, ta có:

n^2 chia 3 dư 1

n chia 3 dư 1

2012 chia 3 dư 2

=> n^2+n+2012 không chia hết cho 3 (2)

~ Với trường hợp n chia 3 dư 2, ta có:

n^2 chia 3 dư 1

n chia 3 dư 2

2012 chia 3 dư 2

=>  n^2+n+2012 không chia hết cho 3 (3)

Từ (1); (2); (3) ta đc điều cần chứng minh

Nếu n=3k(k thuộc Z)

thì BT trên=(3k)²+3k+2012=(3k)(3k+1)+2012 ko chia hết cho 3

Nếu n=3k+1(k thuộc Z)

thì BT trên=(3k+1)²+(3k+1)+2012=(3k+1)(3k+2)+2012 ko chia hết cho 3

Nếu n=3k+2(k thuộc Z)

thì BT trên=(3k+2)²+(3k+2)+(3*670+2)=(3k+2)(3k+3)+2010+2 không chia hết cho 3

Vậy với mọi n nguyên thì n²+n+2012 ko chia hết cho 3

\(\left(2-n\right)\left(n^2-3n+1\right)+n\left(n^2+12\right)+8\)

\(=2n^2-6n+2-n^3+3n^2-n+n^3+12n+8\)

\(=5n^2+5n+10\)

\(=5\left(n^2+n+2\right)⋮5\) (đpcm)

A = n 4   –   2 n 3   –   n 2  +2n = (n – 2)(n – 1)n(n + 1) là tích của 4 số nguyên liên tiếp do đó  A ⋮ 24 .

Thực hiện nhân đa thức và thu gọn

2 n 2 (n + 1) – 2n( n 2 + n – 3) = 6 n ⋮ 6 với mọi giá trị nguyên n.

Nếu n=2k (k thuộc N) thì n+5=2k+5 chia hết cho 2

Nếu n=2k+1 (k thuộc N) thì n+4 =2k+5 chia hết cho 2

Vậy (n+4)(n+5) chia hết cho 2

Câu a 

Nếu n=2k thì n+4 = 2k+4 chia hết cho 2 => (n+4)(n+5) chia hết cho 2

Nếu n=2k+1 thì n+5=2k+5+1=2k+6 chia hết cho 2=> (n+4)(n+5) chia hết cho hai

Vậy (n+4)(n+5) chia hết cho 2

Câu b

Ta có n+2012 và n+2013 là hai số tự nhiên liên tiếp

Gọi ƯCLN(n+2012; n+2013)=d

Vì ƯCLN(n+2012;n+2013)=d 

=> n+2012 chia hết cho d, n+2013 chia hết cho d

Mà n+2013-n+2012=1=> d=1

Vậy n+2012 và n+2013 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Bài 1:

Ta có: \(2n^2\left(n+1\right)-2n\left(n^2+n-3\right)\)

\(=2n^3+2n^2-2n^3-2n^2+6n\)

\(=6n⋮6\)

1) \(2n^2\left(n+1\right)-2n\left(n^2+n-3\right)=2n^3+2n^2-2n^3-2n^2+6n=6n⋮6\forall n\in Z\)

2) \(n\left(3-2n\right)-\left(n-1\right)\left(1+4n\right)-1=3n-2n^2-4n^2+3n+1-1=-6n^2+6n=6\left(-n^2+n\right)⋮6\forall n\in Z\)