C/m các biểu thức sau là số chính phương
\(a\))\(11...1-22...2\)
2n số 1 n số 2
\(b\))\(11...1+44...4+1\)
2n số 1 n số 4
Chứng minh rằng các biểu thức sau là số chính phương
A=11...1-22...2 (2n số 1 ; n số 2)
B=11...1+44...4+1 (2n số 1 ; n số 4 )
Đặt \(a=11...1\) (n chữ số 1) thì \(9a=99...9\) (n chữ số 9)\(\Rightarrow10^n=9a+1\)
Ta có:\(A=\) \(11...1-22...2\) (2n chữ số 1;n chữ số 2)
\(\Rightarrow A=11...111...1-22...2\) (2n chữ số 1;n chữ số 2)
\(\Rightarrow A=10^na+a-2a=10^n-a=a\left(10^n-1\right)\)\(=9a^2=\left(3a\right)^2=\left(33...3\right)^2\) (n chữ số 3)
b, tương tự câu a, đặt \(a=11...1\) (n chữ số 1) thì \(10^n=9a+1\)
\(B=11...1+44...4+1\) (2n chữ số 1; n chữ số 4)
\(\Rightarrow B=10^na+a+4a+1=10^n+5a+1\)\(=a\left(9a+6\right)+1=9a^2+6a+1=\left(3a+1\right)^2\)\(=\left(33...34\right)^2\) (n - 1 chữ số 3)
Chứng minh rằng các số sau là số chính phương:
a)A= 11...155..56 (n số 1; n - 1 số 5)
b)B= 44...4 + 22...2 + 88...8 + 7 (2n số 4; n+1 số 2; n số 8)
Gợi ý: 99...9(n số 9) = 10n - 1
a) \(A=111...1555...56\) (n cs 1, n-1 cs 5)
\(A=111...1000...0+555...50+6\) (n cs 1, n cs 0 (không tính số 0 ở số 555...50), n-1 cs 5)
\(A=111...1.10^n+555...5.10+6\) (n cs 1, n-1 cs 5)
\(A=\dfrac{999...9}{9}.10^n+\dfrac{5}{9}.999...9.10+6\) (n cs 9 ở phân số thứ nhất, n-1 cs 9 ở phân số thứ 2)
\(A=\dfrac{10^n-1}{9}.10^n+\dfrac{5}{9}.\left(10^{n-1}-1\right).10+6\)
\(A=\dfrac{\left(10^n\right)^2-10^n+5.10^n-50+54}{9}\)
\(A=\dfrac{\left(10^n\right)^2+4.10^n+4}{9}\)
\(A=\left(\dfrac{10^n+2}{3}\right)^2\)
Hiển nhiên \(3|10^n+2\) vì \(10^n+2\) có tổng các chữ số bằng 3, suy ra A là số chính phương.
Câu b áp dụng kĩ thuật tương tự nhé bạn.
B=11...........11+11.............11+66.......66+8
có 2n chữ số 1 thứ nhất
có n+1 chữ số 1 thứ hai
có n chữ số 6
C=44......44+22......22+88......88+7
có 2n chữ số 4
có n+1 chữ số 2
có n chữ số 8
chứng minh rằng đây là số chính phương
CMR các số sau là SCP :
a) M=111...1155..556(n chữ số 1 ;n-1 chữ số 5)
b) N=444...4488..889(n chữ số 4 ;n-1 chữ số 8)
c) D=444...44+22...22+888...88+7(2n chữ số 4; n+1 chữ số 2; n chữ số 8)
d) E=111...11 + 444....44 + 1 (2n chữ số 1 ; m chữ số 4 )
CM các biểu thức sau là số chính phương:
a) A= 11...1-22...2
(2n) (n)
b) B= 11...1+44...4+1
(2n) (n)
Lm ơn giúp mk nha mk sẽ tick cho ai có câu trả lời đúng và nhanh nhé
A=11...1 +44...4+1 ( biết 11...1 có 2n chữ số;44...4 có n chữ số)
c/m rằng: A la số chính phương
Ta có \(A=\overset{2n}{11...1}+\overset{n}{44...4}+1\)
\(A=\dfrac{1}{9}.\overset{2n}{99...9}+\dfrac{4}{9}.\overset{n}{99...9}+1\)
\(A=\dfrac{1}{9}\left(10^{2n}-1\right)+\dfrac{4}{9}\left(10^n-1\right)+1\)
\(A=\dfrac{10^{2n}-1+4.10^n-4+9}{9}\)
\(A=\dfrac{\left(10^n\right)^2+4.10^n+4}{9}\)
\(A=\left(\dfrac{10^n+2}{3}\right)^2\)
Dễ thấy \(10^n+2⋮3\) vì có tổng các chữ số là 3 nên \(\dfrac{10^n+2}{3}\inℕ^∗\). Vậy A là số chính phương (đpcm)
CM các số sau là số chính phương:
A=11...1(2n chữ số 1)+44..4(n chữ số 4)+1
B=11...1(2n chữ số 1)+ 11...1(n+1 chữ số 1)+ 66...6(n chữ số 6) +8
C=44...4(2n chữ số 4)+22...2(n+1 chữ số 2)+ 88...8(n chữ số 8) +7
D=\(\overline{\text{22499...9(n-2 chữ số 9)100...0(n chữ số 0)9}}\)
E=\(\overline{\text{11...1(n chữ số 1)55...5(n-1 chữ số 5)6}}\)
1. Cho a = 11....11 ( 2018 c/s 1) b = 44...44 ( 1009 c/s 4 ) chứng minh a+b+1 là số chính phương
2.Cho a = 11...11 (2n c/s 1) b = 11....111 (n+1 c/s 1) c = 66....66(n c/s 6) chứng minh a+b+c+8 là số chính phương
Bài 1:
Đặt \(\underbrace{111....1}_{1009}=t\Rightarrow 9t+1=10^{1009}\)
Ta có:
\(a+b+1=\underbrace{11...11}_{1009}.10^{1009}+\underbrace{11...1}_{1009}+4.\underbrace{11....1}_{1009}+1\)
\(=t(9t+1)+t+4.t+1=9t^2+6t+1=(3t+1)^2\) là scp.
Ta có đpcm.
Bài 2:
Đặt \(\underbrace{111....1}_{n}=t\Rightarrow 9t+1=10^n\)
Ta có:
\(a+b+c+8=\underbrace{111..11}_{n}.10^n+\underbrace{111....1}_{n}+\underbrace{11...1}_{n}.10+1+6.\underbrace{111...1}_{n}+8\)
\(t(9t+1)+t+10t+1+6t+8=9t^2+18t+9\)
\(=(3t+3)^2\) là scp.
Ta có đpcm.
Cho a=11...11(2n chữ số 1); b = 44...4 (n chữ số 4). Chứng minh rằng: a+b+1 là số chính phương