\(4x^2+4x+y^2-6y=24\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2+4x+1\right)+\left(y^2-6y+9\right)=34\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2+\left(y-3\right)^2=34=3^2+5^2\)

\(TH1:\hept{\begin{cases}\left(2x+1\right)^2=3^2\\\left(y-3\right)^2=5^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=8\end{cases}}\)

\(TH2:\hept{\begin{cases}\left(2x+1\right)^2=5^2\\\left(y-3\right)^2=3^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=6\end{cases}}\)

Vay.....

\(4x^2+4x+y^2-6y=24\)

\(\Leftrightarrow4x^2+4x+y^2-6y-24=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2+4x+1\right)+\left(y^2-6y+9\right)-34=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2+\left(y-3\right)^2=34\)

Mà \(34=3^2+5^2=\left(-3\right)^2+\left(-5\right)^2\)

Vì là nghiệm nguyên dương nên:

\(\left(2x+1\right)^2+\left(y-3\right)^2=3^2+5^2\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\orbr{\begin{cases}\\\end{cases}}\\\orbr{\begin{cases}\\\end{cases}}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2x+1=3\\y-3=5\end{cases}}\)hoặc     \(\orbr{\begin{cases}2x+1=5\\y-3=3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2x=2\\y=8\end{cases}}\)         hoặc     \(\orbr{\begin{cases}2x=4\\y=6\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\y=8\end{cases}}\)           hoặc      \(\orbr{\begin{cases}x=2\\y=6\end{cases}}\)

Vậy các cặp số (x;y) là: (1;8);(2;6)

\(2xy-6=4x-y\Leftrightarrow2xy-4x+y-2=4\)

\(\Leftrightarrow2x\left(y-2\right)+\left(y-2\right)=4\Leftrightarrow\left(y-2\right)\left(2x+1\right)=4\)(1)

Có \(x,y\inℤ\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x+1\inℤ\\y-2\inℤ\end{cases}}\)

Từ (1) =>  2x + 1 thuộc Ư(4) ; y - 2 thuộc Ư(4)

+) \(\hept{\begin{cases}2x+1=1\\y-2=4\end{cases}}\)                              +) \(\hept{\begin{cases}2x+1=2\\y-x=2\end{cases}}\)

+) \(\hept{\begin{cases}2x+1=4\\y-2=1\end{cases}}\)                                +) \(\hept{\begin{cases}2x+1=-2\\y-2=-2\end{cases}}\)

+) \(\hept{\begin{cases}2x+1=-1\\y-2=-4\end{cases}}\)                          +) \(\hept{\begin{cases}2x+1=-4\\y-2=-1\end{cases}}\)

Còn lại rất dễ bạn tự làm tiếp nhé 

Chú ý điều kiện x ; y nguyên nhé !!!! 

Tích cho mk nhoa !!!!! ~~

\(x^2+y^2+4=2xy+4x+4y\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(2y+4\right)x+y^2-4y+4=0\)

Xét phương trình theo nghiệm x.

\(\Rightarrow\Delta'=\left(y+2\right)^2-\left(y^2-4y+4\right)=8y\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=y+2-2\sqrt{2y}\\x=y+2+2\sqrt{2y}\end{cases}}\)

Vì x, y nguyên dương nên 

\(\Rightarrow\sqrt{2y}=a\)

\(\Rightarrow y=2n^2\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=2n^2+2-4n\\x=2n^2+2+4n\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\left(n-1\right)^2\\x=2\left(n+1\right)^2\end{cases}}\)

Vậy \(\frac{y}{2};\frac{x}{2}\)là 2 số chính phương.

\(x^2+y^2+4=2xy+4x+4y\)

<=> \(\left(x^2-4x+4\right)+y^2-2y\left(x-2\right)=8y\)

<=> \(\left(x-y-2\right)^2=8y\)

<=> \(\left(\frac{x-y-2}{4}\right)^2=\frac{y}{2}\)

=> \(\frac{y}{2}\)là số chính phương

CMTT x/2 là số chính phương

2. 

\(\frac{2}{2x+1}=\frac{y}{4}\)

\(\Rightarrow y.\left(2x+1\right)=2.4=8\)

\(\Rightarrow y;2x+1\inƯ\left(8\right)\)

Mà 2x + 1 là số lẻ \(\Rightarrow2x+1\in\left\{-1;1\right\}\)

Ta có bảng: