(hình vẽ chỉ mang t/c minh họa cho dễ nhìn)

 Theo t/c đường phân giác \(\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow AD=\frac{15AB}{AC}=\frac{49-AD}{15+AD}\)

\(\Rightarrow AD^2+16AD-49=0\Rightarrow AD=\sqrt{113}-8\) cm

Èo, bài thế này mà nghĩ mãi mới ra.Ko biết có tính sai chỗ nào không nhưng hướng làm là vậy đó.

Ây ya nhầm, hèn gì số xấu!

\(AD=\frac{15AB}{AC}=\frac{15\left(49-AD^2\right)}{15+AD}\)

Rồi tính tiếp :( mong là lần này  ko nhầm

Vẫn sai tiếp rồi \(AB=\sqrt{49-AD^2}\)

BC=15+20=35cm

BD/CD=3/4

=>AB/AC=3/4

BH/CH=(AB/AC)^2=9/16

=>BH/9=CH/16=35/25=1,4

=>BH=12,6cm; CH=22,4cm

Ta có \(BC=BD+CD=35\left(cm\right)\)

Vì AD là p/g nên \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{15}{20}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow AB=\dfrac{3}{4}CD\)

Áp dụng PTG: \(BC^2=1225=AB^2+AC^2=\dfrac{9}{16}AC^2+AC^2=\dfrac{25}{16}AC^2\)

\(\Rightarrow AC^2=784\Rightarrow AC=28\left(cm\right)\\ \Rightarrow AB=\dfrac{3}{4}\cdot28=21\left(cm\right)\)

Áp dụng HTL:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{AB^2}{BC}=12,6\left(cm\right)\\CH=\dfrac{AC^2}{BC}=22,4\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét ΔABC có AD là đường phân giác

nên AB/AC=BD/CD=15/20=3/4

=>HB/HC=9/16

=>HB=9/16HC

Ta có: HB+HC=BC

=>9/16HC+HC=25

=>HC=16(cm)

=>HB=9(cm)

\(BC=BD+CD=15+20=35\left(cm\right)\)

Xét tam giác \(ABC\)phân giác \(AD\):

\(\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}\)(tính chất đường phân giác trong tam giác) 

\(\Leftrightarrow\frac{AB}{15}=\frac{AC}{20}\Leftrightarrow AB=\frac{3}{4}AC\).

Xét tam giác \(ABC\)vuông tại \(A\):

\(BC^2=AB^2+AC^2\)(định lí Pythagore) 

\(\Leftrightarrow35^2=\left(\frac{3}{4}AC\right)^2+AC^2\Leftrightarrow AC^2=784\Leftrightarrow AC=28\left(cm\right)\)

\(AC^2=CH.BC\Leftrightarrow CH=\frac{AC^2}{BC}=\frac{28^2}{35}=22,4\left(cm\right)\)

\(BH=35-22,4=12,6\left(cm\right)\)

1:

BC=15+20=35cm

AD là phân gíac

=>AB/BD=AC/CD

=>AB/3=AC/4=k

=>AB=3k; AC=4k

AB^2+AC^2=BC^2

=>25k^2=35^2

=>k=7

=>AB=21cm; AC=28cm

AH=21*28/35=16,8cm

\(AD=\dfrac{2\cdot21\cdot28}{21+28}\cdot cos45=12\sqrt{2}\left(cm\right)\)

2:

BC=căn 12^2+16^2=20cm

HB=AB^2/BC=12^2/20=7,2cm

HC=20-7,2=12,8cm

Vì AD là đường phân giác của tam giác BAC nên ta có:

                \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}hay\dfrac{12}{15}=\dfrac{7}{DC}\Rightarrow DC=\dfrac{12}{15}.7=5,6cm\)

Suy ra BC=BD+DC   hay  BC=7+5,6 \(\Rightarrow BC=12,6cm\)

          Vậy BC = 12,6 cm