Đk: \(2\le x\le4\)

Áp dụng BĐT bunhiacopxki có:

\(P^2=\left(\sqrt{x-2}+3\sqrt{4-x}\right)^2\le\left(1+3^2\right)\left(x-2+4-x\right)\)

\(\Leftrightarrow P^2\le20\)\(\Leftrightarrow P\le2\sqrt{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x-2}=\dfrac{\sqrt{4-x}}{3}\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{11}{5}\) (tm đk)

Có \(P^2=8\left(4-x\right)+6\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}+2\ge2\)\(\Rightarrow P\ge\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=4 (tm)

Bài 1: 

Ta có: \(D=\sqrt{16x^4}-2x^2+1\)

\(=4x^2-2x^2+1\)

\(=2x^2+1\)

Đk: \(x\ge0\)

\(P=\dfrac{\sqrt{x}}{x+3\sqrt{x}+4}\)

\(\Leftrightarrow x.P+\sqrt{x}\left(3P-1\right)+4P=0\) (1)

Xét P=0 <=> x=0(tm)

Xét \(P\ne0\) .Coi pt (1) là phương trình ẩn \(\sqrt{x}\)

Phương trình (1) có nghiệm không âm khi \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta\ge0\\S\ge0\\P\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-7P^2-6P+1\ge0\\\dfrac{1-3P}{P}\ge0\\4\ge0\left(lđ\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le P\le\dfrac{1}{7}\\0< P\le\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0< P\le\dfrac{1}{7}\)

Kết hợp với P=0 \(\Rightarrow0\le P\le\dfrac{1}{7}\)

Có \(\dfrac{1}{7}>0\) => maxP=\(\dfrac{1}{7}\). Thay \(P=\dfrac{1}{7}\) vào (1) tìm được x=4 (tm)

minP=0 <=> x=0

ĐK: \(x\ge0\)

+) Với x = 0 => A = 0

+) Với x khác 0

Ta có: \(\frac{1}{A}=\frac{3}{4}\sqrt{x}-\frac{3}{4}+\frac{3}{4\sqrt{x}}=\frac{3}{4}\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.2-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)

=> \(A\le\frac{4}{3}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\)<=> x = 1

Vậy max A = 4/3 tại x = 1

Còn có 1 cách em quy đồng hai vế giải đenta theo A thì sẽ tìm đc cả GTNN và GTLN 

Lời giải:

Để $A$ min thì $\sqrt{x}-2$ là số âm lớn nhất

Với $x$ chính phương thì $\sqrt{x}-2$ đạt giá trị âm lớn nhất bằng $-1$

$\Leftrightarrow x=1$

Khi đó: $A_{\min}=\frac{1}{-1}=-1$

Để $A$ max thì $\sqrt{x}-2$ là số dương nhỏ nhất.

Với $x$ chính phương thì $\sqrt{x}-2$ đạt giá trị dương nhỏ nhất bằng $1$

$\Leftrightarrow x=9$

Khi đó: $A=\frac{1}{1}=1$

Ta có: A = x² - 5x + 1 = (x² - 5x + 25/4) - 21/4 = (x - 5/2)² - 21/4

Ta luôn có: (x - 5/2)² \(\ge\)0 \(\forall\)x

=> (x - 5/2)² - 21/4 \(\ge\)-21/4 \(\forall\)x

Dấu "=" xảy ra <=> x -5/2 = 0 <=> x = 5/2

Vậy Min A = -21/4 tại  x = 5/2

Ta có: B = -x + 3x + 1 = -(x - 3x  + 9/4) + 13/4 = -(x - 3/2)² + 13/4

Ta luôn có: -(x - 3/2)² \(\le\)0 \(\forall\)x

=> -(x - 3/2)² + 13/4 \(\le\)13/4 \(\forall\)x

Dấu "=" xảy ra <=> x - 3/2 = 0 <=> x  = 3/2

Vậy Max B = 13/4 tại x = 3/2

(xem lại đề)