c) +) giả sử k chẵn--> k² chẵn --> k²-k+1 lẻ
+) giả sử k lẻ --> k² lẻ --> k²-k+1 lẻ
==> ko tồn tại k thuộc Z thỏa đề
d) sai
vì ví dụ x=-4<3 nhưng x²=(-4)²=16>9(ko thỏa đề)

Câu 2: Nhân cả hai vế của phương trình với 4 , ta có:

\(4x^2+4y^2-4x-4x=32\Leftrightarrow\left(4x-4x+1\right)+\left(4y^2-4y+1\right)=34\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^2+\left(2y-1\right)^2=34\)

Ta thấy 34 = 5² + 3² nên ta có bảng:

Vậy các cặp nghiệm nguyên thỏa mãn là (5;3) , (5;-3) , (-5;3) , (-5;-3) , (3; 5), (3;-5) , (-3; 5), (-3;-5)

Xét \(x^2+\frac{1}{x^2}\)=\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2\in Z\).Giả sử đúng đến n=k , ta sẽ c/m n đúng đến k+1.

Điều này là hiển nhiên vì \(x^{k+1}+\frac{1}{x^{k+1}}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^k+\frac{1}{x^k}\right)-x^{k-1}-\frac{1}{x^{k-1}}\in Z\)

Trên mạng có nhiều lắm í bn!

Giả sử \(x>y>z>t\)

Ta có : 

\(\frac{x}{x+y+z}>\frac{x}{x+y+z+t}\)

\(\frac{y}{x+y+t}>\frac{y}{x+y+z+t}\)

\(\frac{z}{y+z+t}>\frac{z}{x+y+z+t}\)

\(\frac{t}{x+z+t}>\frac{t}{x+y+z+t}\)

\(\Rightarrow\)\(M=\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+t}+\frac{z}{y+z+t}+\frac{t}{x+z+t}>\frac{x+y+z+t}{x+y+z+t}=1\)

\(\Rightarrow\)\(M>1\)\(\left(1\right)\)

Lại có : ( phần này áp dụng công thức \(\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\) \(\left(\frac{a}{b}< 1;a,b,c\inℕ^∗\right)\) ) 

\(\frac{x}{x+y+z}< \frac{x+t}{x+y+z+t}\) ( cộng tử và mẫu cho t ) 

\(\frac{y}{x+y+t}< \frac{y+z}{z+y+z+t}\) ( cộng tử và mẫu cho z ) 

\(\frac{z}{y+z+t}< \frac{x+z}{x+y+z+t}\) ( cộng tử và mẫu cho x ) 

\(\frac{t}{x+z+t}< \frac{y+t}{x+y+z+t}\) ( cộng tử và mẫu cho y ) 

\(\Rightarrow\)\(M=\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+t}+\frac{z}{y+z+t}+\frac{t}{x+z+t}< \frac{2\left(x+y+z+t\right)}{x+y+z+t}=2\)

\(\Rightarrow\)\(M< 2\)\(\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra : \(1< M< 2\)

Vậy M không là số tự nhiên với mọi \(x,y,z,t\inℕ\)

Chúc bạn học tốt ~ 

Giả sử x > y > z > t Ta có :  x + y + z x > x + y + z + t x x + y + t y > x + y + z + t y y + z + t z > x + y + z + t z x + z + t t > x + y + z + t t ⇒M = x + y + z x + x + y + t y + y + z + t z + x + z + t t > x + y + z + t x + y + z + t = 1 ⇒M > 1 1 Lại có : ( phần này áp dụng công thức  b a < b + m a + m b a < 1;a,b,c ∈ ℕ ∗  )  x + y + z x < x + y + z + t x + t  ( cộng tử và mẫu cho t )  x + y + t y < z + y + z + t y + z  ( cộng tử và mẫu cho z )  y + z + t z < x + y + z + t x + z  ( cộng tử và mẫu cho x )  x + z + t t < x + y + z + t y + t  ( cộng tử và mẫu cho y )  ⇒M = x + y + z x + x + y + t y + y + z + t z + x + z + t t < x + y + z + t 2 x + y + z + t = 2

Ta có :

\(\frac{x}{x+y+z+t}< \frac{x}{x+y+z}< \frac{x+t}{x+y+z+t}\)

\(\frac{y}{x+y+z+t}< \frac{y}{x+y+t}< \frac{y+z}{x+y+z+t}\)

\(\frac{z}{x+y+z+t}< \frac{z}{y+z+t}< \frac{z+z}{x+y+z+t}\)

\(\frac{t}{x+y+z+t}< \frac{t}{z+t+x}< \frac{t+y}{x+y+z+t}\)

Cộng vế với vế ta được :

\(\frac{x+y+z+t}{x+y+z+t}< \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+t}+\frac{z}{y+z+t}< \frac{t}{z+t+x}< \frac{2\left(x+y+z+t\right)}{x+y+z+t}\)

\(\Rightarrow1< M< 2\) Hay M ko là số tự nhiên