b) Trên đoạn thẳng AC ta có: AC’= AC’’= 3 cm nên

Khi đó, hai đường thẳng BC và B’C’ song song với nhau.

a) MN // BC. Áp dụng định lí Ta-let, ta có :

\(\frac{BM}{AB}=\frac{CN}{AC}\)hay \(\frac{2}{8}=\frac{CN}{10}\)\(\Rightarrow CN=2,5\)

b) MN // BP ; NP // BM nên tứ giác MNPB là hình bình hành

\(\Rightarrow\Delta BMN=\Delta NPB\left(c.g.c\right)\)hay \(\Delta BMN\approx\Delta NPB\)

c) BM = 2 ; AB = 8 nên AM = 6

MNPB là hình bình hành nên NP = BM

Xét \(\Delta NPC\)và \(\Delta AMN\)có : 

\(\widehat{PNC}=\widehat{MAN}\left(dv\right);\widehat{NPC}=\widehat{AMN}\left(=\widehat{ABC}\right)\)

\(\Rightarrow\)\(\Delta NPC\)\(\approx\)\(\Delta AMN\)( g.g )

\(\Rightarrow\)\(\frac{S_{NPC}}{S_{AMN}}=\left(\frac{NP}{AM}\right)^2=\left(\frac{BM}{AM}\right)^2=\left(\frac{2}{6}\right)^2=\frac{1}{9}\)

Lời giải : 

Ta có : \(\frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC}\)( GT ) ( 1 )

+) Đường thẳng a đi qua B' song song với BC ( GT )

\(B'C''//BC\)( vì đường thẳng a cắt AC tại C'' )

\(\Rightarrow\frac{AB'}{AB}=\frac{AC''}{AC}\)( Định lí Ta lét ) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 )

\(\Rightarrow AC'=AC''\)

a)

b) Các cặp cạnh song song với nhau có trong hình tứ giác ADCB là: cặp cạnh AD và BC, AB và DC.

a) Xét tam giác \(ABC\) có \(B'C'//BC\) nên theo định lí Thales ta có:

\(\frac{{AB'}}{{AB}} = \frac{{AC'}}{{AC}} \Rightarrow \frac{2}{6} = \frac{{AC'}}{8}\). Do đó, \(AC' = \frac{{2.8}}{6} = \frac{8}{3}\left( {cm} \right)\).

Vậy \(AC' = \frac{{16}}{3}cm\).

b) Xét tam giác \(ABC\) có \(C'D//AB\) nên theo định lí Thales ta có:

\(\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{AC'}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{BD}}{{10}} = \frac{{\frac{8}{3}}}{8}\). Do đó, \(BD = \frac{{10.\frac{8}{3}}}{8} = \frac{{10}}{3}\left( {cm} \right)\).

Vậy \(BD = \frac{{10}}{3}cm\).

Ta có: \(BB' = AB - AB' = 6 - 2 = 4cm\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}B'C'//BC\\C'D//AB\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B'C'//BD\\C'D//B'B\end{array} \right.\) (do \(D \in BC;B' \in AB\))

Xét tứ giác \(B'C'DB\) có

\(\left\{ \begin{array}{l}B'C'//BD\\C'D//B'B\end{array} \right. \Rightarrow \) tứ giác \(B'C'DB\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B'C' = BD = \frac{{10}}{3}cm\\BB' = C'D = 4cm\end{array} \right.\) (tính chất hình bình hành)

c) Ta có: \(\frac{{AB'}}{{AB}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};\frac{{AC'}}{{AC}} = \frac{{\frac{8}{3}}}{8} = \frac{1}{3};\frac{{BC'}}{{BC}} = \frac{{\frac{{10}}{3}}}{{10}} = \frac{1}{3}\)

Do đó, \(\frac{{AB'}}{{AB}} = \frac{{AC'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}}\).