biểu thức đã cho là số tự nhiên khi n^2+14n-256=a^2(a là số tự nhiên)

n^2+14n+49=a^2+49+256=a^2+305

(n+7)^2= a^2+305

vì n là số tự nhiên nên n+7 là số tự nhiên nên (n+7)^2 là số chính phương có dang b^2(b là số tự nhiên)

suy ra a^2+305=b^2

b^2-a^2=305

(b-a)(b+a)=305

vì a và b là số tự nhiên nên a+b là số tự nhiên và b+a>b-a

suy ra b+a là ước tự nhiên của 305={1;5;61;305}

nếu b+a=1 thì b-a=305>b+a(loại)

nếu b+a=5 thì b-a=61>b+a(loại)

nếu b+a=61 thì b-a=5 suy ra a=28 thay vào tìm được n=26

nếu b+a=305 thì b-a=1 suy ra a=152 thay vào tìm đươc n=146

vây n=26 hoặc n=146 tmđb

Đặt \(n^2-14n-256=a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n^2-14n+49\right)-a^2=305\)

\(\Leftrightarrow\left(n-7\right)^2-a^2=305\)

\(\Leftrightarrow\left(n-7+a\right)\left(n-7-a\right)=305=5\cdot61\)

Đến đây làm nốt đi.

Đặt \(G=n^2-14n-256=a^2\)(là số chính phương)

\(\Leftrightarrow n^2-14n+49-305=a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n-7\right)^2-305=a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n-7\right)^2-a^2=305\)

\(\Leftrightarrow\left(n+a-7\right)\left(n-a-7\right)=305=5.61\)

Mà \(n+a-7\ge n-a-7\)nên \(\hept{\begin{cases}n+a-7=61\\n-a-7=5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n+a=68\\n-a=12\end{cases}}\Leftrightarrow n=\frac{68+12}{2}=40\)

Vậy n = 40 thì \(G=n^2-14n-256\)là số chính phương

Thiếu trường hợp:

305 = 5. 61 = 305 . 1

n là số tự nhiên nhưng a có thể là số âm em nhé! Vì thế  không thể kết luận \(n+a-7\ge n-a-7.\)

tự túc là hạnh phúc

gọi d là ƯCcủa hai số 21n +4 và 14n+3

21n+4 và 14n+3 chia hết cho d

=>(21n+4)-(14n+3)=7n+1 chia hết cho d

=>2(7n+1)=14n+2 chia hết cho d

=>(14n+3)-(14n+2) =1 chia hết cho d

=>d =1

ƯCLN=1

Gọi d=UCLN(14n+3,21n+4)

Ta có:

14n+3 chia hết cho d

21n+4 chia hết cho d

<=> 3(14n+3)-2(21n+4) chia hết cho d

<=> 1 chia hết cho d <=> d=1

Vậy UCLN(14n+3,21n+4)=1

giúp tui với 

tui đang cần lắm đó bà con ơi

em mới lớp 5 seo anh gọi em là: BÀ CON

Ngáo hết 

a) Để 21n+4/14n+3 là phân số tổi giản thì ƯCLN(21n+4; 14n+3) =1

Gọi ƯCLN(21n+4; 14n+3) =d => 21n+4 \(⋮\)d; 14n+3 \(⋮\)d

=> (14n+3) -(21n+4) \(⋮\)d

=> 3(14n+3) -2(21n+4) \(⋮\)d

=> 42n+9 - 42n -8 \(⋮\)d

=> 1\(⋮\)d

=> 21n+4/14n+3 là phân số tối giản

Vậy...

c) Gọi ƯC(21n+3; 6n+4) =d; 21n+3/6n+4 =A => 21n+3 \(⋮\)d; 6n+4 \(⋮\)d

=> (6n+4) - (21n+3) \(⋮\)d

=> 7(6n+4) - 2(21n+3) \(⋮\)d

=> 42n +28 - 42n -6\(⋮\)d

=> 22 \(⋮\)cho số nguyên tố d

d \(\in\){11;2}

Nếu phân số A rút gọn được cho số nguyên tố d thì d=2 hoặc d=11

Nếu A có thể rút gọn cho 2 thì 6n+4 luôn luôn chia hết cho 2. 21n+3 chia hết cho 2 nếu n là số lẻ

Nếu A có thể rút gọn cho 11 thì 21n+3 \(⋮\)11 => 22n -n +3\(⋮\)11 => n-3 \(⋮\)11 Đảo lại với n=11k+3 thì 21n+3 và 6n+4 chia hết cho 11

Vậy với n là lẻ hoặc n là chẵn mà n=11k+3 thì phân số đó rút gọn được

We put \(n^2-14n+38=k^2\)

\(\Rightarrow n^2-14n+49-11=k^2\)

\(\Rightarrow\left(n-7\right)^2-11=k^2\)

\(\Rightarrow\left(n-7\right)^2-k^2=11\)

\(\Rightarrow\left(n-7-k\right)\left(n-7+k\right)=11=1.11=11.1=\left(-1\right).\left(-11\right)\)

\(=\left(-11\right).\left(-1\right)\)

Prints:

Case by case, we have \(n\in\left\{13;1\right\}\)

Gọi \(A=\left(21n+4,14n+3\right)\)

\(\Rightarrow21n+4⋮A\)

     \(14n+3⋮A\)

\(\Rightarrow42n+8⋮A\)

    \(42n+9⋮A\)

\(\Rightarrow42n+9-\left(42n+8\right)⋮A\)

\(\Leftrightarrow1⋮A\)

\(\Rightarrow A=1\)

Vậy \(\left(21n+4,24n+3\right)=1\)

\(x=\left\{26;39;52;65;78\right\}\)