Xem

a) Ta có: \(\widehat{BCD}+\widehat{BCN}=180^0\)(hai góc kề bù)

\(\Leftrightarrow\widehat{BCN}=180^0-\widehat{BCD}=180^0-90^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BCN}=90^0\)

hay \(\widehat{MCN}=90^0\)

Xét tứ giác MCNF có 

\(\widehat{MCN}=90^0\)(cmt)

\(\widehat{FMC}=90^0\)(FM⊥BC)

\(\widehat{FNC}=90^0\)(FN⊥DC)

Do đó: MCNF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Ta có: ABCD là hình chữ nhật(gt)

nên Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau(Định lí hình chữ nhật)

mà AC cắt BD tại O(gt)

nên O là trung điểm chung của AC và BD; AC=BD

Xét ΔACF có 

O là trung điểm của AC(cmt)

E là trung điểm của AF(gt)

Do đó: OE là đường trung bình của ΔACF(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒OE//CF và \(OE=\dfrac{CF}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

hay CF//BD(đpcm)

(((Làm theo hướng đó đúng rồi.. Tiếp nà )))

HFCE là hình bình hành (tự c/m)

=> \(\hept{\begin{cases}HF\text{//}EC\\HF=EC\left(1\right)\end{cases}}\)

Mà EC//AK => HF//AK

 => Δ ANK =  Δ FNH (g.c.g)

=> AK=HF (2)

Từ (1) và (2) suy ra AK=EC. Mà AK//EC

=> Tứ giác AKCE là hình bình hành có O là trung điểm của AC

=> O cũng là trung điểm của EK

=> Đpcm...

Ta thấy : 4 điểm A ; F ; C ; E cùng thuộc đường tròn đường kính AC .

Vì trung trực của EF cắt AC tại O nên O là trung điểm AC .

Ta có : OM , AH cùng vuông góc với EF nên OM // AH 

=> M là trung điểm CH ( Vì O là trung điểm của AC )

Do đó , tứ giác CFHE có tâm đối xứng M hay CFHE là hình bình hành .

Suy ra : HF // CE // AK 

Dễ chứng minh △HNF = △KNA ( g.c.g )

Suy ra : Tứ giác AHFK là hình bình hành .

Vậy : AK = HF = CE , kết hợp với AK // CE , AK vuông góc với AE .

Suy ra : CKAE là hình chữ nhật .

Vì O là trung điểm đường chéo AC nên O là tâm của hình chữ nhật CKAE hay K , O , E thẳng hàng ( đpcm )

Thử nhé: Gọi O' là trung điểm của AC.

Tam giác vuông AEC và AFC có trung tuyến lần lượt là EO' và FO' nên O'E=O'F (=1/2AC).

Suy ra: O'EF là tam giác cân. Mà O'M là đường trung tuyến của tam giác O'EF.

nên O'M là đường trung trực của EF. 

Vậy O và O' đều là giao điểm của đường trung trực của EF với AC nên O trùng O'. Suy ra O là trung điểm của AC.

Xét tam giác ACH có OA=OC và OM song song AH nên CM=HM. 

Xét tứ giác CEHF có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hbh. Đến đay làm sao?

Dù sao cũng cảm ơn nhiều !~

Dễ thấy bốn điểm A,F,C,E cùng thuộc đường tròn đường kính AC

Vì trung trực của EF cắt AC tại O nên O là trung điểm AC

Ta có OM và AH cùng vuông góc với EF nên OM // AH suy ra M là trung điểm CH (Vì O là trung điểm AC)

Do đó tứ giác CFHE có tâm đối xứng M hay CFHE là hình bình hành

Suy ra HF // CE // AK. Dễ chứng minh \(\Delta\)HNF = \(\Delta\)KNA (g.c.g), suy ra tứ giác AHFK là hình bình hành

Vậy AK = HF = CE, kết hợp với AK // CE, AK vuông góc AE suy ra CKAE là hình chữ nhật

Vì O là trung điểm đường chéo AC nên O là tâm của hình chữ nhật CKAE hay K,O,E thẳng hàng (đpcm).

a)Tứ giác CMFN là hình chữ nhật  vì có 3 góc vuông