a: Xét ΔABD và ΔAED có

AB=AE

\(\widehat{BAD}=\widehat{EAD}\)

AD chung

Do đó: ΔABD=ΔAED

b: Ta có: ΔABD=ΔAED

nên DB=DE

mà DE<DC

nên DB<DC

c: Ta có: AB=AE
DB=DE

Do đó: AD là đường trung trực của BE

Bài 1:

Không mất tổng quát giả sử $AB< AC$

Gọi $AH$ là phân giác $\widehat{BAC}$. Theo tính chất tia phân giác:

$\frac{BH}{CH}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{BC}{CH}=\frac{AB+AC}{AC}$

Ta có:

$\frac{HN}{HC}=\frac{BN-BH}{HC}=\frac{BN}{HC}-\frac{BH}{HC}=\frac{BC}{2HC}-\frac{BH}{HC}=\frac{AB+AC}{2AC}-\frac{AB}{AC}$

$=\frac{AC-AB}{2AC}=\frac{AC-CD}{2AC}=\frac{AD}{2AC}=\frac{AM}{AC}$

Theo định lý Talet đảo suy ra $MN\parallel AH$

Ta có đpcm.

Hình vẽ 1:

2. 

Áp dụng định lý Menelaus với tam giác $AMC$ có $B,I,E$ thẳng hàng ta có:

$\frac{AE}{EC}.\frac{IM}{AI}.\frac{BC}{BM}=1$

$\Leftrightarrow \frac{AE}{EC}=\frac{AI}{2IM}$

$\Rightarrow \frac{AE}{AC}=\frac{AI}{AI+2IM}$

$\Rightarrow \frac{AC}{AE}=\frac{AI+2IM}{AI}(1)$Lại áp dụng tính chất tia phân giác và định lý Talet:

$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}=\frac{CM+DM}{BD}=\frac{BM+DM}{BD}$

$=\frac{BM}{BD}+\frac{DM}{BD}=\frac{AM}{AI}+\frac{IM}{AI}=\frac{AM+IM}{AI}=\frac{AI+2IM}{AI}(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{AC}{AE}$

$\Rightarrow AB=AE$ (đpcm)

a) Do M, N là trung điểm của AB và AC nên MN là đường trung bình tam giác ABC.

Suy ra MN//BC, hay ta có: \(\widehat{MDB}=\widehat{DBP}\)  (Hai góc so le trong)

Mà \(\widehat{MBD}=\widehat{DBP}\)  (Do BD là phân giác)

\(\Rightarrow\widehat{MDB}=\widehat{MBD}\). Vậy tam giác MBD cân tại M hau MB = MD.

Xét tam giác ADB có MD là trung tuyến mà bằng một nửa cạnh tương ứng nên tam giác ADB vuông tại D.

Vậy \(BD\perp AP\)

Hoàn toàn tương tự \(BE\perp AQ\)

b) Xét tam giác ABP có M là trung điểm AB, MD // BP  nên MD là đường trung bình tam giác ABP.

Vậy nên BP = 2MD . Tương tự BQ = 2EM

Mà EM = MD ( = MB)

Vậy nên BP = BQ hay B là trung điểm QP.

c)  Do BE, BD là các tia phân giác trong và ngoài của một đỉnh trong tam giác nên EB vuông góc BD

Vậy tứ giác EADB có 3 góc vuông, suy ra EADB là hình chữ nhật.

\(\Rightarrow AB=ED\)

cô huyền ơi làm giúp em bài này với  , : https://olm.vn/hoi-dap/question/1134332.html

Trong tam giác AMN, ta có:

MN = AN.sin(∠MAN) (định lí sin)

Vì MN là hình chiếu vuông góc của D lên AB và AC, nên AN = AD.cos(∠BAC) và AM = AD.cos(∠CAB). Thay vào công thức trên, ta có:

MN = AD.cos(∠CAB).sin(∠BAC)

Do đó, để chứng minh MN = AD.sin(BAC), ta cần chứng minh rằng:

cos(∠CAB).sin(∠BAC) = sin(∠BAC)

Áp dụng định lí sin, ta có:

cos(∠CAB).sin(∠BAC) = sin(∠BAC).cos(∠CAB)

Vì cos(∠CAB) = cos(90° - ∠BAC) = sin(∠BAC), nên:

sin(∠BAC).cos(∠CAB) = sin(∠BAC).sin(∠BAC) = sin^2(∠BAC)

Vậy, MN = AD.sin(BAC).

Như vậy, đã chứng minh hai điều kiện trên.