Xét tứ giác ADME có

\(\widehat{ADM}=\widehat{AEM}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADME là hình chữ nhật

Để ADME là hình vuông thì AM là phân giác của \(\widehat{DAE}\)

=>M là chân đường phân giác kẻ từ A xuống BC

Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{EAD}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

=>\(\widehat{AED}=\widehat{AHD}\)

mà \(\widehat{AHD}=\widehat{ABC}\left(=90^0-\widehat{HAB}\right)\)

nên \(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MC=MB

MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>\(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}=\widehat{ACB}\)

\(\widehat{MAC}+\widehat{AED}=\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=90^0\)

=>AM vuông góc DE

Xét tứ giác ADME, ta có:

∠ A = 90 0  (gt)

MD ⊥ AB (gt)

⇒  ∠ (MDA ) =  90 0

ME ⊥ AC (gt)

⇒  ∠ (MEA ) =  90 0

Suy ra tứ giác ADME là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông)

⇒ AM = DE ( tính chất hình chữ nhật)

\(MD\perp AB\) (gt)

\(AC\perp AB\) (gt)

=> MD//AC (1) \(\Rightarrow\widehat{BMD}=\widehat{C}\) (góc đồng vị)

Mà \(\widehat{B}=\widehat{C}\) (gt)

\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{BMD}\) => tg BMD vuông cân tại D => MD=BD (2)

\(ME\perp AC\) (gt)

\(AB\perp AC\) (gt)

=> ME//AB (3)

C/m tương tự ta cũng có tg CME vuông cân tại E => ME=CE (4)

Từ (1) và (3) => ADME là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau)

=> MD = AE (5) và ME = AD (6)

Ta có

\(C_{ADME}=\left(MD+ME\right)x2\)

AE = AC-CE Từ (5) => MD=AC - CE Từ (4) => MD = AC - ME

\(\Rightarrow C_{ADME}=\left(AC-ME+ME\right)x2=2xAC\) không đổi

bn ko bik thì nói mk ko bik sao bn nói vớ vẩn vậy ?

Vớ vẩn 

Sao lại vớ vẩn

Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

=>\(\widehat{AED}=\widehat{AHD}\)

AM\(\perp\)DE

=>\(\widehat{AED}+\widehat{MAC}=90^0\)

mà \(\widehat{AED}=\widehat{AHD}\left(cmt\right)\) 

và \(\widehat{AHD}=\widehat{ABH}\left(=90^0-\widehat{HAB}\right)\)

nên \(\widehat{ABH}+\widehat{MAC}=90^0\)

mà \(\widehat{ABH}+\widehat{MCA}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)

nên \(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\)

=>MA=MC

\(\widehat{MAC}+\widehat{MAB}=\widehat{BAC}=90^0\)

\(\widehat{MCA}+\widehat{MBA}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)

mà \(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\)

nên \(\widehat{MAB}=\widehat{MBA}\)

=>MA=MB

mà MA=MC

nên MB=MC

=>M là trung điểm của BC

( Hình em tự vẽ nhé! )

Lấy O là giao điểm DE và HA

+ Xét tứ giác ADHE có:

\(\widehat{HDA}=\widehat{DAE}=\widehat{AEH}=90^o\)

=> ADHE là hình chữ nhật

=> O là trung điểm AH (t/c)

     O là trung điểm DE (t/c)

=> OA = OH = OD = OE 

=> ΔAOE cân tại O

=> \(\widehat{OAE}=\widehat{OEA}\left(tc\right)\)

+ Xét ΔABH vuông tại H

=> \(\widehat{BAH}+\widehat{ABH}=90^o\)

Mà \(\widehat{BAH}+\widehat{CAH}=90^o\)

=> \(\widehat{ABH}=\widehat{CAH}\)

Mà \(\widehat{CAH}=\widehat{OEH}\)

\(\widehat{ABH}=\widehat{AEO}\)

+ Xét ΔADE và ΔACB có:

\(\widehat{DAE}=\widehat{CAB}\left(=90^o\right)\)

\(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)

=> ΔADE \(\sim\) ΔACB (g.g)

=> \(\widehat{ADE}=\widehat{ACB}\left(2gtu\right)\)

Lấy I là giao điểm AM và DE 

+ Xét ΔAIE vuông tại I 

=> \(\widehat{IAE}+\widehat{IEA}=90^o\)

Mà \(\widehat{BAM}+\widehat{MAC}=90^o\)

=> \(\widehat{IEA}=\widehat{MAB}\)

Mà \(\widehat{IEA}=\widehat{ABC}\)

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{BAM}\)

=> ΔABM cân tại M

=> MA = MB (t/c)

+ Xét ΔAID vuông tại I

=> \(\widehat{IDA}+\widehat{IAD}=90^o\)

Mà \(\widehat{IAD}+\widehat{MAC}=90^o\)

=> \(\widehat{IDA}=\widehat{MAC}\)

Mà \(\widehat{IDA}=\widehat{ACM}\)

=> \(\widehat{MAC}=\widehat{ACM}\)

=> ΔMAC cân tại M

=> MA = MC (t/c)

Mà MA = MB 

=> MB = MC

=> M là trung điểm BC.

Ta có: AH ⊥ BC nên AM ≥ AH (quan hệ đường vuông góc và đường xiên)

Dấu “=” xảy ra khi M trùng với H

Mà DE = AM ( chứng minh trên)

Vậy DE có độ dài nhỏ nhất bằng AH khi M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC