a) Tứ giác ABDC có:

M là trung điểm của BC (gt)

M là trung điểm của AD (gt)

⇒ ABDC là hình bình hành

Mà ∠BAC = 90⁰ (∆ABC vuông tại A)

⇒ ABDC là hình chữ nhật

b) Do ABDC là hình chữ nhật (cmt)

⇒ CD = AB (1)

Do B là trung điểm của AE (gt)

⇒ BE = AB = AE : 2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ CD = BE

Do ABDC là hình chữ nhật (cmt)

⇒ CD // AB

⇒ CD // BE

Tứ giác BEDC có:

CD // BE (cmt)

CD = BE (cmt)

⇒ BEDC là hình bình hành

c) Do ABDC là hình chữ nhật (cmt)

⇒ AC // BD

Do đó AC, BD, EK đồng quy là vô lý

Em xem lại đề nhé!

a) Xét ∆CMA và ∆BMD:

Góc CMA= góc BMD (đối đỉnh)

MA=MD (gt)

MC=MB (M là trung điểm BC)

=> ∆CMA=∆BMD(c.g.c)

=> góc CAM = góc BDM và CA=DB

Mà 2 góc CAM và góc BDM nằm ở vị trí so lo trong nên CA//DB

=> CABD là hình bình hành

Lại có góc CAB = 90 độ (gt)

=> ACDB là hình chữ nhật

b) Vì E là điểm đối xứng của C qua A nên EAB=90độ=DBA

Mà 2 góc này ở bị trí so le trong nên AE//DB

Lại có AE=BD(=CA)

=> AEBD là hình bình hành

a: Xét tứ giác ABKC có 

M là trung điểm của đường chéo BC

M là trung điểm của đường chéo AK

Do đó: ABKC là hình bình hành

mà \(\widehat{CAB}=90^0\)

nên ABKC là hình chữ nhật

1: Xét tứ giác ABNC có

M là trung điểm chung của AN và BC

nên ABNC là hình bình hành

Hình bình hành ABNC có \(\widehat{BAC}=90^0\)

nên ABNC là hình chữ nhật

2:

a: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MH//AB

Do đó: H là trung điểm của AC

b: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên \(AM=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{5}{2}=2,5\left(cm\right)\)

Xét tứ giác AMCE có

H là trung điểm chung của AC và ME

nên AMCE là hình bình hành

Hình bình hành AMCE có MA=MC

nên AMCE là hình thoi

=>\(C_{AMCE}=4\cdot AM=4\cdot2,5=10\left(cm\right)\)

3: Xét ΔNAB có

M,K lần lượt là trung điểm của NA,NB

=>MK là đường trung bình của ΔNAB

=>\(MK=\dfrac{AB}{2}\)

AMCE là hình thoi

=>AE//CM và AE=CM

AE//CM

\(M\in BC\)

Do đó: AE//BM

AE=CM

CM=BM

Do đó: AE=BM

Xét tứ giác ABME có

AE//MB

AE=MB

Do đó: ABME là hình bình hành

=>ME=AB

mà MK=1/2AB

nên \(\dfrac{ME}{MK}=1:\dfrac{1}{2}=2\)

=>ME=2MK

a: Xét tứ giác ABEC có 

M là trung điểm của đường chéo BC

M là trung điểm của đường chéo AE

Do đó: ABEC là hình bình hành

mà \(\widehat{CAB}=90^0\)

nên ABEC là hình chữ nhật

Bài 1

a/Xét tứ giác BHCD có M đồng thời là trung điểm của cả HD và BC 

Do đó BHCD là hình bình hành \(\Rightarrow BH//CD,CH//BD\)

Mặt khác vì ta có H là trực tâm của tam giác ABC nên \(BH\perp AC,CH\perp AB\)

Suy ra \(BD\perp AB,CD\perp AC\Rightarrow\Delta ABD,\Delta ACD\)là tam giác vuông 

b/Xét \(\Delta ABD,\Delta ACD:\widehat{ABD}=\widehat{ACD}=90^0\);I là trung điểm của cạnh huyền chung AD

Suy ra \(IA=IB=IC=ID\)

Bài 2a/Vì AD=CD(gt) nên D nằm trên trung trực của đoạn AC suy ra \(\widehat{DAC}=\widehat{ECA}=90^0-60^0=30^0\)

Suy ra \(\widehat{BAD}=90^0+\widehat{DAC}=120^0\)

b/Trước hết ta thấy ABCD đã là hình thang,nên ta đi chứng minh \(\widehat{BCD}=\widehat{ABC}=60^0\)

Ta có \(\widehat{BCD}=\widehat{DCA}+\widehat{ACB}=\widehat{DAC}+30^0=30^0+30^0=60^0\)

Vậy ABCD là hình thang cân

c/Ta có \(\Delta BCE:AE=BE,\widehat{ABE}=60^0\Rightarrow AE=BE=AB\)

\(\widehat{ADE}=\frac{1}{2}.\widehat{ADC}=60^0;\widehat{BAD}=120^0=\widehat{BED}\)

Suy ra ABED là hình bình hành 

Mà ta còn có AB=EB 

Vậy ABED là hình thoi

Bài 3a/Xét \(\Delta ADE\)và \(\Delta ABF\)có \(AD=AB;DE=BF;\widehat{ADE}=\widehat{ABF}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta ADE=\Delta ABF\left(c.g.c\right)\Rightarrow AE=AF,\widehat{DAE}=\widehat{BAF}\Rightarrow DPCM\)

b/Dùng định lý Menelaus cho tam giác ECF:\(\overline{I;B;D}\Leftrightarrow\frac{DC}{DE}.\frac{BF}{BC}.\frac{IE}{IF}=1\Leftrightarrow\frac{DC}{DE}.\frac{BF}{BC}=1\left(I\right)\)

Ta thấy rõ (I) đúng do BC=DC;BF=DE

Vậy I thuộc BD

c/(mình thấy bình thường mà có cần kẻ gì)

Vì K và A đối xứng qua I mà I là trung điểm EF nên được AEFK là hình bình hành

Mà \(\widehat{EAF}=90^0;AE=AF\left(cmt\right)\)

Vậy AEFK là hình vuông

( Hình mình hk vẽ nha bạn, thông cảm -.- )

a,

*Xét tam giác MAB và tam giác MDC có:

+ MB = MC ( vì M là trung điểm của BC )

+ Góc BMA = góc DMC ( 2 góc đối đỉnh )

+ AM = AD ( gt )

\(\Rightarrow\)Tam giác MAB = tam giác MDC (c.g.c)

*  Vì tam giác ABC vuông tại A \(\Rightarrow\)góc ABC + góc ACB = 90\(^0\)

Mà góc ABC = góc MCD ( vì tam giác MAB = tam giác MDC )

\(\Rightarrow\)Góc ACB + góc MCD = 90 \(^0\)

\(\Rightarrow\)Góc DCA = 90\(^0\)

\(\Rightarrow\)AC vuông góc CD

b,  Xét tam giác BAN và tam giác DCN có 

+ BA = DC ( vì tam giác MAB = tam giác MDC )

+ Góc BAC =  góc DCA = 90\(^0\)

+ AN = NC ( vì N là trung điểm của AC )

\(\Rightarrow\)Tam giác BAN = tam giác DCN ( c.g.c )

\(\Rightarrow\)BN = DN ( 2 cạnh tương ứng )

                                k mình nhaaaaaaaaaaaaaaaaaaa