Lời giải:

a. 

Ta thấy $ED\perp AB, EF\perp AC$

$\Rightarrow \widehat{EDA}=\widehat{EFA}=90^0$
Tứ giác $ADEF$ có 3 góc $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{F}=90^0$ nên là hình chữ nhật.

b.

Vì $ED\perp AB, AB\perp AC\Rightarrow  ED\parallel AC$

Theo định lý Talet thì:
$\frac{BD}{DA}=\frac{BE}{EC}=1$

$\Rightarrow BD=DA$

$\Rightarrow D$ là trung điểm $AB$

Tương tự $F$ là trung điểm $AC$

$\Rightarrow DF$ là đường trung bình ứng với cạnh $BC$ của tam giác $ABC$

$\Rightarrow DF\parallel BC$ và $DF=\frac{1}{2}BC$

Hay $DF\parallel BE$ và $DF=BE$

$\Rightarrow BDFE$ là hình bình hành.

Hình vẽ:

a: Xét tứ giác ADEF có

góc ADE=góc AFE=góc FAD=90 độ

=>ADEF là hình chữ nhật

b: Xét ΔABC có

E là trung điểm của CB

ED//AC

Do đó: D là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

E là trung điểm của CB

EF//AB

Do đó: F là trung điểm của AC

Xét ΔABC có

D,F lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>DF là đường trung bình

=>DF//BC và DF=1/2BC

c: DF//BC và DF=1/2BC

mà \(E\in BC;BE=\dfrac{1}{2}BC\)

nên DF//BE và DF=BE

Xét tứ giác BDFE có

DF//BE

DF=BE

Do đó: BDFE là hình bình hành

d: Xét ΔABC có

E là trung điểm của CB

EF//AB

Do đó: F là trung điểm của AC

e: Xét ΔABC có

D,E lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>DE là đường trung bình

=>DE=1/2AC

ΔHAC vuông tại H

mà HF là trung tuyến

nên HF=AC/2

=>DE=HF

Xét tứ giác DHEF có

DF//EH

DE=FH

Do đó: DHEF là hình thang cân

Xét ΔABC có

E là trung điểm của BC

EF//AB

Do đó: F là trung điểm của AC

Xét tứ giác AECM có

F là trung điểm của AC 

F là trung điểm của EM

Do đó: AECM là hình bình hành

=>AM//CE

=>AM//CB

Xét tứ giác NMBE có

F là trung điểm chung của NB và ME

=>NMBE là hình bình hành

=>NM//BE

=>NM//BC

AM//BC

NM//BC

mà AM,NM có điểm chung là M

nên M,N,A thẳng hàng

Xét tứ giác 

a: XétΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

a: Xét tứ giác ADEF có

\(\widehat{ADE}=\widehat{AFE}=\widehat{DAF}=90^0\)

=>ADEF là hình chữ nhật

b: Xét ΔABC có

E là trung điểm của CB

ED//AB

Do đó: D là trung điểm của AC

Xét tứ giác AECK có

D là trung điểm chung của AC và EK

=>AECK là hình bình hành

Hình bình hành AECK có AC\(\perp\)EK

nên AECK là hình thoi

c: Xét ΔABC có

E,D lần lượt là trung điểm của CB,CA

=>ED là đường trung bình của ΔABC

=>\(ED=\dfrac{AB}{2}\)

mà \(ED=\dfrac{EK}{2}\)

nên EK=AB

Ta có: ED//AB

D\(\in\)EK

Do đó: EK//AB

Ta có: ADEF là hình chữ nhật

=>AE cắt DF tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AE và DF

Xét tứ giác ABEK có

KE//AB

KE=AB

Do đó: ABEK là hình bình hành

=>AE cắt BK tại trung điểm của mỗi đường và AE=BK

mà O là trung điểm của AE

nên O là trung điểm của BK

=>B,O,K thẳng hàng

ΔEMA vuông tại M

mà MO là đường trung tuyến

nên \(MO=\dfrac{AE}{2}\)

mà AE=DF

nên \(MO=\dfrac{DF}{2}\)

Xét ΔDMF có

MO là đường trung tuyến

MO=DF/2

Do đó: ΔDMF vuông tại M

=>\(\widehat{DMF}=90^0\)

b) Xét tam giác ABH vuông tại H có HE là đường cao

⇒ AE.AB = AH2 (1)

Xét tam giác AHC vuông tại H có HF là đường cao

⇒ AF.AC = A H 2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AE.AB = AF.AC