Những số nguyên tố  có thể là ước của số có dạng 111là{1;3;37;111}

1;3;37;111 nhé!

Do số đã cho là số lẻ nên ko chia hết cho 2

Do số đã cho có tận cùng khác 0, 5 nên ko chia hết cho 5

Gọi p là 1 số nguyên tố nào đó, với \(p\ne\left\{2;5\right\}\) \(\Rightarrow2^x.5^y\)  nguyên tố cùng nhau p

\(\Rightarrow10^z\) nguyên tố cùng nhau với p với mọi z nguyên dương

Ta xét dãy gồm p+1 số có dạng:

1; 11; 111; ...; 111...11 (p+1 chữ số 1)

Theo nguyên lý Dirichlet, trong p+1 số trên có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia hết cho p

Giả sử đó là 111..11 (m chữ số 1) và 111...11 (n chữ số 1), với \(m< n\le p\)

\(\Rightarrow111...11\left(n\text{ chữ số 1}\right)-111...11\left(m\text{ chữ số 1}\right)\) chia hết cho p

\(\Rightarrow111...11000...00\left(a\text{ chữ số 1}\text{ và b chữ số 0}\right)\) chia hết cho p (với a<m)

\(\Rightarrow111...11.10^b\) chia hết cho p

Mà \(10^p\) nguyê tố cùng nhau với p

\(\Rightarrow111...11\left(a\text{ chữ số 1}\right)\) chia hết cho p

Vậy với mọi số nguyên tố p khác 2 và 5, luôn luôn tìm được ít nhất 1 số có dạng 111...11 chia hết cho p

\(\Rightarrow\) Mọi số nguyên tố, trừ 2 và 5, đều có thể là ước của số có dạng 111...11

Gọi các ước nguyên tố của số N là p ; q ; r và p < q < r

\(\Rightarrow p=2;q+r=18\Rightarrow\orbr{\begin{cases}q=5;r=13\\q=7;r=11\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}N=2^a.5^b.13^c\\N=2^a.7^b.11^c\end{cases}}}\)

 Với a ; b; c \(\in\)N  và  \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=12\Rightarrow12=2.2.3\)

Do đó N có thể là \(2^2.5.13;2.5^2.13;2.5.13^2;2^2.7.11;2.7^2.11;2.7.11^2\)

N nhỏ nhất nên \(N=2^2.5.13=260\)

Câu hỏi của tran gia nhat tien - Toán lớp 8 - Học trực tuyến OLM