a: AB=DC

DC=CE

Do đó: AB=CE

Xét tứ giác ABEC có

AB//EC

AB=CE

Do đó: ABEC là hình bình hành

b: Xét ΔBDE có

BC là trung tuyến

BC là đường cao

Do đó: ΔBDE cân tại B(1)

Xét ΔBDE có

BC là trung tuyến

\(BC=\dfrac{1}{2}DE\)

Do đó: ΔBDE vuông tại B(2)

Từ (1),(2) suy ra ΔBDE vuông cân tại B

c:

ABCD là hình vuông

=>AC=BD và AC vuông góc với BD tại trung điểm của mỗi đường

=>AC vuông góc BD tại O và O là trung điểm chung của AC và BD

=>OA=OB=OC=OD

Xét ΔBDE có

C,F lần lượt là trung điểm của DE,BE

Do đó: CF là đường trung bình

=>CF//BD và \(CF=\dfrac{BD}{2}\)

=>CF//BO và CF=BO

Xét tứ giác BOCF có

BO//CF

BO=CF

Do đó: BOCF là hình bình hành

mà BO=CO

nên BOCF là hình thoi

Hình thoi BOCF có \(\widehat{OBF}=90^0\)

nên BOCF là hình vuông

d: Xét ΔBDE có

BC,DF là trung tuyến

BC cắt DF tại I

Do đó: I là trọng tâm của ΔBDE

mà O là trung điểm của BD

nên E,I,O thẳng hàng

Xét ΔIDE có

IC là đường cao, là đường trung tuyến

nên ΔIDE cân tại I

=>ID=IE

Xét ΔBDE có

I là trọng tâm

EO là đường trung tuyến

Do đó: \(\dfrac{EI}{EO}=\dfrac{2}{3}\)

=>\(OE=\dfrac{3}{2}EI=\dfrac{3}{2}DI\)

Bài này có gì đâu em ! Anh làm nhé !

Chuyển vế cái cần chứng minh ta được 

1/AB^2 - 1/AE^2 =1/4AF^2

hay ( AE^2 - AB^2)/AB^2.AE^2 = 1/4AF^2

hay BE^2/ 4BC^2.AE^2 = 1/AF^2

Nhân chéo hai vế ta có : BC.AE = BE.AF hay là BC/AF = BE/AE

Chuyển vế cái cần chứng minh ta được 

1/AB^2 - 1/AE^2 =1/4AF^2

hay ( AE^2 - AB^2)/AB^2.AE^2 = 1/4AF^2

hay BE^2/ 4BC^2.AE^2 = 1/AF^2

Nhân chéo hai vế ta có : BC.AE = BE.AF hay là BC/AF = BE/AE

a)

ta có: ABCD là hình vuông

=> AB=BC=CD=DA=>1/2AB=1/2CD=AI=JC

AI//JC

=>tứ giác AICJ là hình bình hành

gọi trung điểm của AC là K

ta có:ABCD là hình vuông=> AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

=>BD cắt AC tại K(1)

ta có AICJ là hình bình hành => AC và DJ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

=>DJ cắt AC tại K(2)

từ (1)(2)=> 3 đoạn thẳng AC,BD,Ị cắt nhau tại trung điểm K của chúng

b)

ta có:

góc ADB=góc DBC

AJ//IC=> góc AED=góc CFB

ta có:

\(\widehat{EAD}=180^o-\widehat{ADB}-\widehat{AED}\)

\(\widehat{FCB}=180^o-\widehat{DBC}-\widehat{CFB}\)

=>góc EAD=góc FCB

xét tam giác DEA và tam giác BFC có

AD=BC(gt)

góc ADB=góc DBC

góc EAD=góc FCB(cmt)

=>tam giác DEA=tam giác BFC(g.c.g)

=>AE=CF

c)

ta có:tứ giác AICJ là hình bình hành

=>AJ=IC

AE=CF

EJ=AJ-AE

IF=IC-FC

=>EJ=IF

 EJ//IF

=>tứ giác IFJE là hình bình hành

d)

xét tam giác ACD có

DK là trung tuyến ứng với cạnh AC

AJ là trung tuyến ứng với cạnh CD

=>giao của DK và AJ là trọng tâm tam giác ACD

=>E là trọng tâm tam giác ACD

cm tương tự ta có: F là trọng tâm tam giác ABC

ta có:

E là trọng tâm tam giác ADC

=>EK=1/2DE

F là trọng tâm tam giác ABC

=>FK=1/2BF

DE=BF(tam giác DEA=tam giác BFC)

=>EK=FK

ta có:

=>FB= DE=2EK=EK+KF=EF

=>DE=EF=FB(đfcm)

Khó quá

kết bn nhé 

a: Sửa đề: EF vuông góc AC

Xét ΔABC có

E là trung điểm của BC

EF//AB

=>F là trung điểm của AC

Xét ΔABC có

E là trung điểm của BC

ED//AC

=>D là trung điểm của AB

=>BD//FE và BD=FE

=>BDFE là hình bình hành

b: Xét ΔABC có AD/AB=AF/AC

nên DF//BC

=>DF//EH

ΔHAC vuông tại H có HF là trung tuyến

nên HF=AC/2=ED

Xét tứ giác EHDF có

EH//DF

ED=FH

=>EHDF là hình thang cân

Bài 1:

a) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) ,E là trung điểm của AC (gt)

\(\Rightarrow ME\)là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow ME=\frac{1}{2}BC\left(tc\right)\left(1\right)\)

Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AC (gt) ,P là trung điểm của DC (gt)

\(\Rightarrow PE\)là đường trung bình của tam giác ADC

\(\Rightarrow PE=\frac{1}{2}AD\left(tc\right)\left(2\right)\)

mà \(AD=BC\left(gt\right)\left(3\right)\)

Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow EM=PE\)

CMTT: \(PE=FP,FM=ME\)

\(\Rightarrow ME=EP=PF=FM\)

Xét tứ giác MEPF có:

\(ME=EP=PF=FM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MEPF\)là hình thoi ( dhnb)

 b) Vì \(MEPF\)là hình thoi (cmt)

\(\Rightarrow FE\)giao với MP tại trung điểm mỗi đường (tc)  (4)

Xét tam giác ADB có M là trung điểm của AB(gt) ,Q là trung điểm của AD (gt)

\(\Rightarrow MQ\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow MQ//DB,MQ=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(5\right)\)

Xét tam giác BDC có N là trung điểm của BC(gt) , P là trung điểm của DC(gt)

\(\Rightarrow NP\)là đường trung bình của tam giác BDC

\(\Rightarrow NP//DB,NP=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(6\right)\)

Từ (5) và (6) \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

Xét tứ giác MQPN có \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

\(\Rightarrow MQPN\)là hình bình hành (dhnb)

\(\Rightarrow MP\)giao QN tại trung điểm mỗi đường (tc) (7)

Từ (4) và (7) \(\Rightarrow MP,NQ,EF\)cắt nhau tại một điểm 

c) Xét tam giác ABD có Q là trung điểm của AD (gt), F là trung điểm của BD(gt)

\(\Rightarrow QF\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow QF//AB\left(8\right)\)

CMTT: \(FN//CD\)và \(EN//AB\)

Mà Q,F,E,N thẳng hàng 

\(\Rightarrow AB//CD\)

Vậy để Q,F,E,N thẳng hàng thì tứ giác ABCD phải thêm điều kiện  \(AB//CD\)

Tối về mình làm nốt  nhé giờ mình có việc 

Bài 4 :

Để tứ giác ABCD là hình bình hành

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{DAB}=\widehat{DCB}=120^o\\\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\end{cases}}\)

Lại có : \(\widehat{DAB}+\widehat{DCB}+\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=360^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=120^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=60^o\)

a: Sửa đề: BHCK

Xét tứ giác BHCK có

M là trung điểm chung của BC và HK

=>BHCK là hình bình hành

b: BHCK là hình bình hành

=>BH//CK và BK//CH

=>BK vuông góc BA và CK vuông góc CA

c: góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>ME=MF

=>ΔMEF cân tại M