a: Xét tứ giác AKMH có

\(\widehat{AKM}=\widehat{AHM}=\widehat{HAK}=90^0\)

=>AKMH là hình chữ nhật

b: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MK//AC

Do đó: K là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MH//AB

Do đó: H là trung điểm của AC

Xét ΔABC có

M,K lần lượt là trung điểm của BC,BA

=>MK là đường trung bình cuả ΔABC

=>MK//AC và MK=AC/2

MK=AC/2

MK=MI/2

Do đó: AC=MI

Xét tứ giác ACMI có

MI//AC

MI=AC

Do đó: ACMI là hình bình hành

=>AM cắt CI tại trung điểm của mỗi đường

mà E là trung điểm của AM

nên E là trung điểm của CI

=>E,C,I thẳng hàng

c: Hình chữ nhật AKMH trở thành hình vuông khi AK=AH

mà \(AK=\dfrac{AB}{2}\) và \(AH=\dfrac{AC}{2}\)

nên AB=AC

c) Giả thuyết: tứ giác ANMP là hình chữ nhật thì hình bình hành ANMP vuông tại A

=> \(\Delta ABC\)vuông tại A

Vậy: DK để tứ giác ANMP là hình chữ nhật thì \(\Delta ABC\)phải vuông tại A

d) Để tứ giác ANMP là hình vuông thì:

     + Tứ giác ANMP phải là hình thoi

     + Tứ giác ANMP có 1 góc vuông

(Dựa vào DHNB thứ 4: Hình thoi có một góc vuông là hình vuông)

Do đó: Để tứ giác ANMP là hình vuông thì: M phải là giao điểm của phân giác góc A và cạnh BC; đồng thời tứ giác ANMP có một góc vuông tại A(kết hợp kết quả câu b và c)

Hok tốt ~

Bài 1:

a) Xét t, giác ABEC có
M-tđ BC(AM- trung tuyến)

M-tđ AE(E đx A qua M)

BC cắt AE tại M

=> ABEC là hình bình hành (dhnb)

b)Hbh ABEC là hình thoi
<=> AB=AC(dhnb)

Vậy t.giác ABC cân tại A để ABEC là hình thoi

HBH ABEC là hình chữ nhật

<=> A=90 độ (dhnb)

Vậy t.giác ABC vuông tại A để ABEC là hình chữ nhật

Bài 2:

Xét t.giác AKMH có

A=90*

H=90*(MHvg góc AC)

K=90*(MK vg góc AB)

=> AKMH là hình chữ nhật(dhnb)

b) AM là trung tuyến ứng vs cạnh huyền

=> AM=MC

=> tam giác AMC cân tại M

MH là đg cao

=> MH là trung tuyến

=> H - tđ AC

Xét t,giác AMCP có

H- tđ Ac(  cmt)

H - tđ MP ( P đx M qua H)

AC cắt MP tại H

=> AMCP là hình bình hành (dhnb)

lại có AM=MC( cmt)

=> AMCP là hình thoi ( dhnb)

Bài 3:

Xét tam giác ABC vg tại A có

AB² + AC² = BC²

TS: 5² + 12²= BC²

BC²= 25+144

=> BC= 13

Am là trung tuyến

=> AM=1/2BC

=> AM =7,5

Bn tự vẽ hình nha

a, xét tứ giác AHMK có

góc MHA=90 độ( MH ⊥ Ab-gt)

góc MKA=90 độ( MK⊥ AC-gt)

góc HAK= 90 độ ( tam giác ABC vuông tại A-gt)

-> AHMK là hcn ( tứ giác có 3 góc vuông là hcn)

Tớ chỉ lm đc câu a thui nếu đúng like cho tớ nha

b)AKMH là hình chữ nhật\(\Rightarrow\)EMK=90độ.

xét 2 \(\Delta\)vuông \(\Delta\)BHE và \(\Delta\)KME

có:HE=EM(1)\(\)

BEH=MEK(2 góc đối đỉnh)(2)

từ (1),(2)\(\Rightarrow\)\(\Delta\)BHE=\(\Delta\)KME(cgv-gn)

\(\Rightarrow\)BE=EK(2 cạnh t/ứ)

xét t/g BHKM có:EH=EM(3)

BE=EK(cmt)(4)

từ(3),(4)\(\Rightarrow\)BHKM là hình bình hành

a, xét tứ giác AHMK có

góc MHA=90 độ( MH ⊥ Ab-gt)

góc MKA=90 độ( MK⊥ AC-gt)

góc HAK= 90 độ ( tam giác ABC vuông tại A-gt)

-> AHMK là hcn ( tứ giác có 3 góc vuông là hcn)2). Có : MH vuông góc với AB ( gt )

              AC vuông góc với AB ( 
Δ
ABC vuông tại A)

=> MH//AC 

Xét tam giác ABc có

MH//AC( cmt)

M là trung điểm BC (gt)

=> H là trung điểm AB (định lý đường trung bình của tam giác)(đpcm)
. Có: MK vuông góc AC ( gt)

AB vuông góc AC( tam giác ABC vuông tại A )

=> MK//AB

Có:MK//AB(cmt)

M là trung điểm BC ( gt)

=> K là trung điểm AC ( định lý đường trung bình của tam giác )

Có : H là trung điểm AB ( cmt)

=. BH=1/2AB

Xét tam giác ABC có

M là trung điểm BC(cmt)

K là trung điểm AC ( cmt)

=> MK là đưởng trung bình của tam giác ABC( dấu hiệu nhận biết)

=> MK=1/2AB

( tính chất đường trung bình của tam giác)

=> MK//AB(tính chất đường trung bình của tam giác) hay MK//BH

Có MK=1/2AB

BH= 1/2AB

=> MK=BH

Mà MK//BH(cmt)

=> BMKH là hình bình hành

Xin lỗi nha. Mik chỉ biết làm câu a,b thôi à . Bạn tự vẽ hình nha

a: Xét tứ giác AKMH có 

\(\widehat{AKM}=\widehat{AHM}=\widehat{HAK}=90^0\)

Do đó: AKMH là hình chữ nhật

a) Xét tứ giác BHMK có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Khi đó hai đường chéo bằng nhau nên BM = HK.

b) Xét tam giác ABC có M là trung điểm AC, MK // AB nên MK là đường trung bình.

Vậy thì K là trung điểm BC.

Xét tứ giác BMCN có K là trung điểm hai đường chéo nên nó là hình bình hành.

Lại có MN vuông góc BC nên BMCN là hình thoi.

Dễ thấy rằng MK = AB/2 hay MN = AB.

Để hình thoi BMCN là hình vuông thì MN = BC hau AB = BC.

Vậy tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B thì BMCN là hình vuông.

c) Ta có BHMK là hình chữ nhật nên BM giao HK tại trung điểm mỗi đường.

Dễ thấy tứ giác ABNM có AB song song và bằng NM nên nó là hình bình hành.

Vậy nên BM giao AM tại trung điểm mỗi đoạn.

Từ đó ta có BM, HK, AN đồng quy tại trung điểm mỗi đoạn.

d) Gọi giao điểm của BM, HK và AN làO, giao của BM và AK là I.

Ta có:  do KM // AB, áp dụng Talet:

 \(\frac{IM}{BI}=\frac{MK}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{IM}{BO+OI}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{IM}{IM+OI+OI}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow IM=2OM\)

Áp dụng Talet cho tam giác AND và ADC ta có:

\(\frac{OI}{DN}=\frac{AI}{AD}=\frac{IM}{DC}\Rightarrow\frac{OI}{DN}=\frac{IM}{DC}\Rightarrow DC=2ND\)