Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;1} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3; - 1} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 1.( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \\ \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {45^o}\)

a) Hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\y \ge 0\end{array} \right.\) gồm hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn là \(x < 0\) và \(y \ge 0\)

=> Hệ trên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + {y^2} < 0\\y - x > 1\end{array} \right.\) không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì \(x + {y^2} < 0\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn (chứa \({y^2}\))

c) Hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z < 0\\y < 0\end{array} \right.\) không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì \(x + y + z < 0\) có 3 ẩn không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

d) Ta có:

 \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y < {3^2}\\{4^2}x + 3y < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x + y < 9\\16x + 3y < 1\end{array} \right.\)

Đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và gồm hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn là \( - 2x + y < 9\) và \(16x + 3y < 1\)

a)

Xác định miền nghiệm của BPT \(y - x <  - 1\)

+ Vẽ đường thẳng d: \(y-x=  - 1\) đi qua A(1;0) và B(0;-1)

+ Vì \(0-0= 0 > - 1\) nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn BPT \(y - x <  - 1\)

Do đó, miền nghiệm của BPT \(y - x <  - 1\) là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ O.

Miền nghiệm của BPT \(x > 0\) là nửa mặt phẳng bên phải Oy (không kể trục Oy).

Miền nghiệm của BPT \(y < 0\) là nửa mặt phẳng dưới Ox (không kể trục Ox).

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền không gạch (Không kể đoạn thẳng AB và các trục tọa độ).

b)

Miền nghiệm của BPT \(x \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) (kể cả trục Oy).

Miền nghiệm của BPT \(y \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1) (kể cả trục Ox).

Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y \le 4\)

+ Vẽ đường thẳng d: \(2x + y = 4\) đi qua A(2;0) và B(0;4)

+ Vì \(2.0 + 0 = 0 < 4\) nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn BPT \(2x + y \le 4\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y \le 4\) là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác OAB (kể cả các đoạn thẳng OA, OB, AB).

c)

Miền nghiệm của bất phương trình \(x \ge 0\) là nửa mặt phẳng bên phải Oy (kể cả trục Oy).

Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x + y > 5\)

+ Vẽ đường thẳng d: \(x + y = 5\)

+ Vì \(0 + 0 = 0 < 5\) nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn bất phương trình \(x + y > 5\).

Do đó, miền nghiệm của BPT \(x + y > 5\) là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ O.

Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x - y < 0\)

+ Vẽ đường thẳng d: \(x - y = 0\)

+ Vì \(1 - 0 = 1 > 0\) nên tọa độ điểm (1;0) không thỏa mãn bất phương trình \(x - y < 0\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(x - y < 0\) là nửa mặt phẳng bờ d’ không chứa điểm (1;0).

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền màu trắng (không kể d và d’)

\(a,\left\{{}\begin{matrix}u_3-u_1=20\\u_2+u_5=54\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(u_1+2d\right)-u_1=20\\\left(u_1+d\right)+\left(u_1+4d\right)=54\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2d=20\\2u_1+5d=54\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=10\\u_1=2\end{matrix}\right.\)

Vậy cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có số hạng đầu \(u_1=2\) và công sai \(d=10\)

\(b,\left\{{}\begin{matrix}u_2+u_3=0\\u_2+u_5=80\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+d+u_1+2d=0\\u_1+d+u_1+4d=80\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=-60\\d=40\end{matrix}\right.\)

Vậy cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có số hạng đầu \(u_1=-60\) và công sai \(d=40\)

\(c,\left\{{}\begin{matrix}u_5-u_2=3\\u_8\cdot u_3=24\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+4d-u_1-d=3\\\left(u_1+7d\right)\left(u_1+2d\right)=24\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=1\left(1\right)\\\left(u_1+7d\right)\left(u_1+2d\right)=24\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Thế (1) vào (2), ta được:

\(\left(u_1+7\cdot1\right)\left(u_1+2\cdot1\right)=24\\ \Leftrightarrow u_1^2+9u_1-10=0\\ \Leftrightarrow\left(u_1-1\right)\left(u_1+10\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}u_1=1\\u_1=-10\end{matrix}\right.\)

Vậy có hai cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) thỏa mãn:

- Cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1=1\) và công sai \(d=1\)

- Cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1=-10\) và công sai \(d=1\)

Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;1} \right),\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2;2} \right)\). Ta thấy, \(\overrightarrow {{u_2}}  = 2\overrightarrow {{u_1}} \).

Chọn điểm \(A\left( {1; - 2} \right) \in {\Delta _1}\). Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng \({\Delta _2}\) ta được \({t_2} = \frac{1}{2} \Rightarrow A\left( {1; - 2} \right) \in {\Delta _2}\).

Vậy 2 đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.

a)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10{u_5} = 0\\{S_4} = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10\left( {{u_1} + 4{\rm{d}}} \right) = 0\\\frac{{4\left( {2{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)}}{2} = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10{u_1} + 40{\rm{d}} = 0\\2\left( {2{u_1} + 3{\rm{d}}} \right) = 14\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15{u_1} + 40{\rm{d}} = 0\\2{u_1} + 3{\rm{d}} = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 8\\d =  - 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 8\) và công sai \(d =  - 3\).

b)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_7} + {u_{15}} = 60\\u_4^2 + u_{12}^2 = 1170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{u_1} + 6{\rm{d}}} \right) + \left( {{u_1} + 14{\rm{d}}} \right) = 60\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 6{\rm{d}} + {u_1} + 14{\rm{d}} = 60\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 20{\rm{d}} = 60\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 10{\rm{d}} = 30\left( 1 \right)\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {u_1} = 30 - 10{\rm{d}}\) thế vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}{\left( {30 - 10{\rm{d}} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {30 - 10{\rm{d}} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170 \Leftrightarrow {\left( {30 - 7{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {30 + {\rm{d}}} \right)^2} = 1170\\ \Leftrightarrow 900 - 420{\rm{d}} + 49{{\rm{d}}^2} + 900 + 60{\rm{d}} + {d^2} = 1170 \Leftrightarrow 50{{\rm{d}}^2} - 360{\rm{d}} + 630 = 0\\ \Leftrightarrow 5{{\rm{d}}^2} - 36{\rm{d}} + 63 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 3\\d = \frac{{21}}{5}\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(d = 3 \Leftrightarrow {u_1} = 30 - 10.3 = 0\).

Với \(d = \frac{{21}}{5} \Leftrightarrow {u_1} = 30 - 10.\frac{{21}}{5} =  - 12\).

Vậy có hai cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn:

‒ Cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 0\) và công sai \(d = 3\).

‒ Cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} =  - 12\) và công sai \(d = \frac{{21}}{5}\).

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = 96\\{u_6} = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\{u_1}.{q^5} = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\\left( {{u_1}.{q^4}} \right).q = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\96q = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\{u_1} = 6\end{array} \right.\)

Vậy cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 6\) và công bội \(q = 2\).

b)

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} + {u_2} = 60\\{u_5} - {u_3} = 144\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^3} + {u_1}.q = 60\\{u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^2} = 144\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.q\left( {{q^2} + 1} \right) = 60\left( 1 \right)\\{u_1}.{q^2}\left( {{q^2} - 1} \right) = 144\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Do \({u_1} = 0\) và \(q = 0\) không là nghiệm của hệ phương trình nên chia vế với vế của (2) cho (1) ta được:

\(\frac{{q\left( {{q^2} - 1} \right)}}{{{q^2} + 1}} = \frac{{144}}{{60}} \Leftrightarrow \frac{{q\left( {{q^2} - 1} \right)}}{{{q^2} + 1}} =\frac{{12}}{{5}} \Leftrightarrow 5q\left( {{q^2} - 1} \right) = 12\left( {{q^2} + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 5{q^3} - 12q = 5{q^2} + 12 \Leftrightarrow 5{q^3} - 12{q^2} - 5q - 12 = 0 \Leftrightarrow q=3\) thế vào (1) ta được \({u_1}=2\).

Vậy cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công bội \(q = 3\).

Ta thấy hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - y < 0\\2y \ge 0\end{array} \right.\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn với các bất phương trình bậc nhất hai ẩn là \(x - y < 0;2y \ge 0\).

=> Chọn A.

Đáp án B loại vì \(3x + {y^3} < 0\) chứa \(y^3\).

Đáp án C loại vì \({y^2} + 3 < 0\) chứa \(y^2\).

Đáp án D loại vì \( - {x^3} + y < 4\) chứa \(x^3\).