Hình như đề có bị lộn thì phải

Nếu Cm u/2=v/3 thì mik làm đc

Ta có:

\(\frac{u+2}{u-2}=\frac{v+3}{v-3}\)

<=> \(\left(u+2\right)\left(v-3\right)=\left(u-2\right)\left(v+3\right)\)

<=> \(uv+2v-3u-6=uv-2v+3u-6\)

<=> \(2v-3u=3u-2v\)

<=> \(2v+2v=3u+3u\)

<=> \(4v=6u\)

<=> \(2v=3u\)

<=> \(\frac{u}{2}=\frac{v}{3}\)

Ta có:

\(\frac{u+2}{u-2}=\frac{v+3}{v-3}\)

\(\Leftrightarrow\left(u+2\right)\left(v-3\right)=\left(u-2\right)\left(v+3\right)\)

\(\frac{u+2}{u-2}=\frac{v+3}{v-3}\Rightarrow\frac{u+2}{v+3}=\frac{u-2}{v-3}=\frac{\left(u+2\right)-\left(u-2\right)}{\left(v+3\right)-\left(v-3\right)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{u+2}{v+3}=\frac{2}{3}=\frac{u+2-2}{v+3-3}=\frac{u}{v}\Rightarrow\frac{u}{v}=\frac{2}{3}\)

Cách của bạn kia là cách chứng minh tương đương.Mình nghĩ nó ko hay cho lắm vì phải dựa vào đpcm mà suy luận.

Mình lí luận ngược nha :

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{u}{2}=\frac{v}{3}\Rightarrow\frac{u}{v}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{u+2}{v+3}=\frac{u-2}{v-3}\Rightarrow\frac{u+2}{u-2}=\frac{v+3}{v-3}\)

Giải:

Ta có: \(\frac{u+2}{u-2}=\frac{v+3}{v-3}\Rightarrow\frac{u+2}{v+3}=\frac{u-2}{v-3}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{u+2}{v+3}=\frac{u-2}{v-3}=\frac{u}{v}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{u}{v}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{u}{2}=\frac{v}{3}\)

Vậy \(\frac{u}{2}=\frac{v}{3}\)

thừa cái dòng chữ cuối cùng nhá

Ta có:

\(\frac{u}{v}=\frac{v}{t}\Rightarrow\frac{u^2}{v^2}=\frac{v^2}{t^2}=\frac{u}{v}.\frac{v}{t}=\frac{u}{t}\) (1)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{u^2}{v^2}=\frac{v^2}{t^2}=\frac{u^2+v^2}{v^2+t^2}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{u^2+v^2}{v^2+t^2}=\frac{u}{t}\left(đpcm\right)\)

Câu 1:

a) Ta có: \(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{4x}{8}=\frac{3y}{9}\)

Ta có: 4x-3y=-2

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{4x}{8}=\frac{3y}{9}=\frac{4x-3y}{8-9}=\frac{-2}{-1}=2\)

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{4x}{8}=2\\\frac{3y}{9}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x=16\\3y=18\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=6\end{matrix}\right.\)

Vậy: (x,y)=(4;6)

b) Đặt \(\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=k\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4k\\y=5k\end{matrix}\right.\)

Ta có: xy=20

\(\Leftrightarrow4k\cdot5k=20\)

\(\Leftrightarrow20k^2=20\)

\(\Leftrightarrow k^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}k=1\\k=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=4k=4\cdot1=4\\y=5k=5\cdot1=5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=4k=4\cdot\left(-1\right)=-4\\y=5k=5\cdot\left(-1\right)=-5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy: (x,y)={(4;5);(-4;-5)}

Câu 2:

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\\x+y+z=9\end{matrix}\right.\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=\frac{x+y+z}{2+3+4}=\frac{9}{9}=1\)

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{2}=1\\\frac{y}{3}=1\\\frac{z}{4}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\cdot1=2\\y=3\cdot1=3\\y=4\cdot1=4\end{matrix}\right.\)

Vậy: (x,y,z)=(2;3;4)

Câu 1

a) \(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\Rightarrow\frac{4x}{8}=\frac{3y}{9}\)

\(\frac{4x}{8}=\frac{3y}{9}=\frac{4x-3y}{8-9}=\frac{-2}{-1}=2\)

\(\frac{4x}{8}=2\Rightarrow x=\frac{8.2}{4}=4\)

\(\frac{3y}{9}=2\Rightarrow y=\frac{2.9}{3}=6\)

Vậy: x = 4; y = 6

b) Đặt: \(\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=k\)

Ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{4}=k\Rightarrow x=4k\\\frac{y}{5}=k\Rightarrow y=5k\end{matrix}\right.\)

\(x.y=20\)

=> 4k . 5k = 20

=> 20k = 20

=> k = 20 : 20 = 1

\(\left\{{}\begin{matrix}x=4k\\y=5k\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=5\end{matrix}\right.\)

Vậy: x = 4; y = 5

Câu 2:

\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=\frac{x+y+z}{2+3+4}=\frac{9}{9}=1\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{2}=1\Rightarrow x=2.1=2\\\frac{y}{3}=1\Rightarrow y=3.1=3\\\frac{z}{4}=1\Rightarrow z=4.1=4\end{matrix}\right.\)

Vậy: x = 2; y = 3; z = 4

a,\(=\left(\frac{3}{5}x+\frac{2}{7}y\right)^2=\left(\frac{3}{5}.5+\frac{2}{7}.\left(-7\right)\right)^2=0\)

\(b,=\left(\frac{5}{4}u^2v+\frac{2}{25}v^2\right)^2=\left(\frac{5}{4}.\left(\frac{2}{5}\right)^2.5+\frac{2}{25}.5^2\right)^2=3^2=9\)

mình có sửa lại đề 1 chút!

đặt \(T=\sqrt{\frac{u-8\sqrt[6]{u^3v^2}+4\sqrt[3]{v^2}}{\sqrt{u}-2\sqrt[3]{v}+2\sqrt[12]{u^3v^2}}+3\sqrt[3]{v}}+\sqrt[6]{v}=1\)

đặt \(u=a^4;v=b^6\)(a,b>0) ta có

\(T=\frac{u-8\sqrt[6]{u^3v^2}+4\sqrt[3]{v^2}}{\sqrt{u}-2\sqrt[3]{v}+2\sqrt[12]{u^3v^2}}+3\sqrt[3]{v}=\frac{a^4-8a^2b^2+4b^2}{a^2-2b^2+2ab}+3b^2\)

vậy \(T=\frac{a^4-8a^2b^2+4b^4}{a^2-2b^2+2ab}+3b^2=\frac{a^4-5a^2b^2-2b^4+6ab^3}{a^2-2b^2+2ab}=a^2-2ab+b^2\)

từ đó suy ra \(\sqrt{\frac{u-8\sqrt[6]{u^3v^2}+4\sqrt[3]{v^2}}{\sqrt{u}-2\sqrt[3]{v}+2\sqrt[12]{u^3v^2}}+3\sqrt[3]{v}}+\sqrt[6]{v}=\left|\sqrt[4]{u}-\sqrt[6]{v}\right|+\sqrt[6]{v}\)

vì \(u^3\ge v^2\)nên \(\left|\sqrt[4]{u}-\sqrt[6]{v}\right|+\sqrt[6]{v}=\sqrt[4]{u}\)

\(\sqrt{\frac{u-8\sqrt[6]{u^3v^2}+4\sqrt[3]{v^2}}{\sqrt{u}-2\sqrt[3]{v}+2\sqrt[12]{u^3v^2}}+3\sqrt[3]{v}}+\sqrt[6]{v}=1\)

với u=1 ta có \(T=\sqrt{\frac{1-8\sqrt[6]{v^2}+4\sqrt[3]{v^2}}{1-2\sqrt[3]{v}+2\sqrt[6]{v^2}}+3\sqrt[3]{v}}+\sqrt[6]{v}\)

nếu \(1-2\sqrt[3]{v}+2\sqrt[6]{v}=0\)thì \(\sqrt[3]{v}=\frac{3+1}{2}>0\)

do \(v^2>1=u^3\), mâu thuẫn suy ra \(1-2\sqrt[3]{v}+2\sqrt[6]{v}\ne0\)

tóm lại với \(u^3\ge v^2\)và u,v\(\inℚ^+\)để \(\sqrt{\frac{u-8\sqrt[6]{u^3v^2}+4\sqrt[3]{v^2}}{\sqrt{u}-2\sqrt[3]{v}+2\sqrt[12]{u^3v^2}}+3\sqrt[3]{v}}+\sqrt[6]{v}=1\)cần và đủ là u=1 và v<1, v\(\inℚ^+\)được lấy tùy ý