Chia cả tử và mẫu cho \(cosa\)

\(D=\dfrac{\dfrac{cosa}{cosa}+\dfrac{sina}{cosa}}{\dfrac{cosa}{cosa}-\dfrac{sina}{cosa}}=\dfrac{1+tana}{1-tana}=\dfrac{1+\dfrac{1}{2}}{1-\dfrac{1}{2}}=3\)

Có \(\sin^2a+\cos^2a=1\)\(\Leftrightarrow\sin^2a=1-\cos^2a=1-\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{8}{9}\)

\(\Leftrightarrow\sin a=\frac{\sqrt{8}}{3}\)

Xét  \(B=\frac{\sin a-3\cos a}{\sin a+2\cos a}=\frac{\frac{\sqrt{8}}{3}-3\cdot\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{8}}{3}+2\cdot\frac{1}{3}}=\frac{7-5\sqrt{2}}{2}\)

Chọn B.

Ta có: 

Nên (sina + cosa)² =2 hay sin²a + cos²a + 2 sina.cosa = 2

Suy ra sina.cosa = ½.

Khi đó: sin⁴a + cos⁴a  = (sin²a + cos²a)² - 2sin²a.cos²a = 1 - 2.(1/2)² = ½.

Chọn C.

Theo giả thiết ta có:

P = ( sina + sinb) ² + ( cosa + cosb) ²

= sin²a + 2.sina.sinb + sin²b + cos²a + 2cosa. cosb + cos²b

= 2 + 2( sina.sinb + cos a. cosb)

= 2 + 2.cos( a - b)   ( sử dụng công thức cộng)

Giả sử các biểu thức đều xác định

a/ \(\frac{1-sina}{cosa}=\frac{cosa\left(1-sina\right)}{cos^2a}=\frac{cosa\left(1-sina\right)}{1-sin^2a}=\frac{cosa\left(1-sina\right)}{\left(1-sina\right)\left(1+sina\right)}=\frac{cosa}{1+sina}\)

b/ \(=\frac{sin^2a+\left(1+cosa\right)^2}{sina\left(1+cosa\right)}=\frac{sin^2a+cos^2a+2cosa+1}{sina\left(1+cosa\right)}=\frac{2\left(cosa+1\right)}{sina\left(1+cosa\right)}=\frac{2}{sina}\)

c/ \(=\frac{cosa\left(1-sina\right)+cosa\left(1+sina\right)}{\left(1-sina\right)\left(1+sina\right)}=\frac{2cosa}{1-sin^2a}=\frac{2cosa}{cos^2a}=\frac{2}{cosa}\)

Chứng minh các hằng đẳng thức trên

\(sina+cosa=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\left(sina+cosa\right)^2=\dfrac{1}{4}\Rightarrow2sinacosa=\dfrac{1}{4}-1=\dfrac{-3}{4}\)

\(\Leftrightarrow-2sinacosa=\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow cos^2a+sin^2a-2sinacosa=cos^2a+sin^2a+\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\left(sina-cosa\right)^2=1+\dfrac{3}{4}=\dfrac{7}{4}\)

\(\Rightarrow\left|sina-cosa\right|=\dfrac{\sqrt{7}}{2}\)

4