Phương trình cần giải là:

$$

|x + \frac{1}{101}| + |x + \frac{2}{101}| + \cdots + |x + \frac{100}{101}| = 102x

$$

---

### Bước 1: Nhận xét về phương trình

* Vế trái là tổng 100 giá trị tuyệt đối của các biểu thức dạng $x + \frac{k}{101}$, với $k = 1, 2, ..., 100$.

* Vế phải là $102x$.

---

### Bước 2: Xác định các điểm đặc biệt

Các điểm mà dấu trị tuyệt đối bên trái thay đổi là:

$$

x = -\frac{1}{101}, -\frac{2}{101}, \ldots, -\frac{100}{101}

$$

Các điểm này sắp xếp theo thứ tự:

$$

-\frac{100}{101} < -\frac{99}{101} < \cdots < -\frac{1}{101}

$$

---

### Bước 3: Xét phương trình theo khoảng giữa các điểm đặc biệt

Trong từng khoảng, dấu trị tuyệt đối không đổi, ví dụ:

* Nếu $x < -\frac{100}{101}$, thì tất cả các $x + \frac{k}{101} < 0$, nên

$$

|x + \frac{k}{101}| = - \left( x + \frac{k}{101} \right) = -x - \frac{k}{101}

$$

* Nếu $x > -\frac{1}{101}$, thì tất cả các $x + \frac{k}{101} > 0$, nên

$$

|x + \frac{k}{101}| = x + \frac{k}{101}

$$

---

### Bước 4: Tính tổng trong các trường hợp đặc biệt

#### Trường hợp 1: $x < -\frac{100}{101}$

$$

\sum_{k=1}^{100} |x + \frac{k}{101}| = \sum_{k=1}^{100} (-x - \frac{k}{101}) = \sum_{k=1}^{100} (-x) - \sum_{k=1}^{100} \frac{k}{101} = -100x - \frac{1}{101} \sum_{k=1}^{100} k

$$

Tổng $\sum_{k=1}^{100} k = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$, nên:

$$

\sum |x + \frac{k}{101}| = -100x - \frac{5050}{101} = -100x - 50

$$

Phương trình trở thành:

$$

-100x - 50 = 102x \implies -100x - 102x = 50 \implies -202x = 50 \implies x = -\frac{50}{202} = -\frac{25}{101}

$$

Kiểm tra điều kiện $x < -\frac{100}{101} \approx -0.9901$:

$$

-\frac{25}{101} \approx -0.2475 \not< -0.9901

$$

Không thỏa.

---

#### Trường hợp 2: $x > -\frac{1}{101}$

$$

\sum_{k=1}^{100} |x + \frac{k}{101}| = \sum_{k=1}^{100} (x + \frac{k}{101}) = 100x + \frac{1}{101} \sum_{k=1}^{100} k = 100x + 50

$$

Phương trình:

$$

100x + 50 = 102x \implies 50 = 2x \implies x = 25

$$

Kiểm tra điều kiện $x > -\frac{1}{101} \approx -0.0099$:

$$

25 > -0.0099 \quad \text{thỏa mãn}

$$

---

#### Trường hợp 3: $x$ nằm giữa các điểm $-\frac{m+1}{101} < x < -\frac{m}{101}$ với $m = 1, 2, ..., 99$

Trong khoảng này, số hạng dấu dương là từ $k=1$ đến $k=m$ (vì $x + \frac{k}{101} > 0$ khi $k \leq m$), và dấu âm là các số còn lại.

Cụ thể, số phần tử dương: $m$, số phần tử âm: $100 - m$.

Tổng biểu thức vế trái là:

$$

\sum_{k=1}^{100} |x + \frac{k}{101}| = \sum_{k=1}^m \left( x + \frac{k}{101} \right) + \sum_{k=m+1}^{100} \left( -x - \frac{k}{101} \right)

$$

Tính:

$$

= m x + \frac{1}{101} \sum_{k=1}^m k - (100 - m) x - \frac{1}{101} \sum_{k=m+1}^{100} k

$$

$$

= (m - 100 + m) x + \frac{1}{101} \left( \sum_{k=1}^m k - \sum_{k=m+1}^{100} k \right)

$$

$$

= (2m - 100) x + \frac{1}{101} \left( \sum_{k=1}^m k - \left( \sum_{k=1}^{100} k - \sum_{k=1}^m k \right) \right)

$$

$$

= (2m - 100) x + \frac{1}{101} \left( 2 \sum_{k=1}^m k - \sum_{k=1}^{100} k \right)

$$

Nhớ $\sum_{k=1}^m k = \frac{m(m+1)}{2}$, và $\sum_{k=1}^{100} k = 5050$.

Vậy:

$$

= (2m - 100) x + \frac{1}{101} \left( 2 \cdot \frac{m(m+1)}{2} - 5050 \right) = (2m - 100) x + \frac{m(m+1) - 5050}{101}

$$

Phương trình trở thành:

$$

(2m - 100) x + \frac{m(m+1) - 5050}{101} = 102 x

$$

Hay:

$$

(2m - 100) x - 102 x = - \frac{m(m+1) - 5050}{101}

$$

$$

(2m - 202) x = - \frac{m(m+1) - 5050}{101}

$$

$$

x = \frac{5050 - m(m+1)}{101 (202 - 2m)}

$$

---

### Bước 5: Điều kiện nghiệm nằm trong khoảng

Nghiệm $x$ phải thỏa:

$$

-\frac{m+1}{101} < x < -\frac{m}{101}

$$

Thay giá trị $x$ tìm được vào kiểm tra.

---

### Ví dụ kiểm tra một vài giá trị $m$:

* $m=49$:

$$

x = \frac{5050 - 49 \times 50}{101 \times (202 - 98)} = \frac{5050 - 2450}{101 \times 104} = \frac{2600}{10504} \approx 0.2476

$$

Điều kiện khoảng:

$$

-\frac{50}{101} \approx -0.495 < 0.2476 < -\frac{49}{101} \approx -0.485 \quad \text{(không thỏa)}

$$

* $m=99$:

$$

x = \frac{5050 - 99 \times 100}{101 \times (202 - 198)} = \frac{5050 - 9900}{101 \times 4} = \frac{-4850}{404} \approx -12.0

$$

Khoảng:

$$

-\frac{100}{101} \approx -0.99 < -12.0 < -\frac{99}{101} \approx -0.98 \quad \text{(không thỏa)}

$$

---

### Bước 6: Tổng kết nghiệm

* Nghiệm ở khoảng $x < -\frac{100}{101}$ không thỏa.

* Nghiệm ở khoảng $x > -\frac{1}{101}$ là $x = 25$ thỏa.

* Các nghiệm trong các khoảng giữa không thỏa điều kiện $x$.

---

### **Kết luận:**

$$

\boxed{x = 25}

$$

là nghiệm duy nhất của phương trình.

Tham khảo