Xét tính Đ/S và c/m mệnh đề sau
A: '' nếu ∀ n ∈ N và n2 ⋮ 5 thì n⋮ 5 "
B: " ∀ x ∈ N và n2 ⋮ 6 thì n⋮ 6 "
C : '' nếu 2a - 1 là số nguyên tố thì a là số nguyên tố "
D: " nếu x≥y thì x3 ≥ y3 "
Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn n2 + 4 và n2 +16 là các số nguyên tố thì n chia hết cho 5.
Ta có với mọi số nguyên m thì m2 chia cho 5 dư 0 , 1 hoặc 4.
+ Nếu n2 chia cho 5 dư 1 thì n 2 = 5 k + 1 = > n 2 + 4 = 5 k + 5 ⋮ 5 ; k ∈ N * .
Nên n2+4 không là số nguyên tố
+ Nếu n2 chia cho 5 dư 4 thì n 2 = 5 k + 4 = > n 2 + 16 = 5 k + 20 ⋮ 5 ; k ∈ N * .
Nên n2+16 không là số nguyên tố.
Vậy n2 ⋮ 5 hay n ⋮ 5
Cho mệnh đề: “Nếu n là một số nguyên tố lớn hơn 3 thì n2 + 20 là một hợp số”. Mệnh đề tương đương với mệnh đề đã cho là:
A. Điều kiện cần để n2 + 20 là hợp số là n là một số nguyên tố lớn hơn 3
B. Điều kiện đủ để n2 + 20 là hợp số là n là một số nguyên tố lớn hơn 3
C. Điều kiện cần để số nguyên n lớn hơn 3 và là một số nguyên tố là n2 + 20 là hợp số.
D. Cả B, C đều đúng
Đáp án: D
P: “n là một số nguyên tố lớn hơn 3”; Q: “n2 + 20 là một hợp số”.
Mệnh đề đã cho: P => Q. Nghĩa là, Điều kiện đủ để có Q là P hay Điều kiện cần để có P là Q. Do đó B, C đúng
Chứng minh rằng nếu n và n2 + 2 là các số nguyên tố thì n 3 + 2 còng là số nguyên tố.
Bài 1: Tìm n thuộc N* sao cho n3 - n2 + n - 1 là số tự nhiên
Bài 2: C/m nếu 2n - 1 (n > 2) là số nguyên tố thì 2n + 1 là hợp số
Bài 3: Cho m và m2 + 2 là số nguyên tố. C/m m3 + 2 cùng là số nguyên tố
1,
Đặt A = n3 - n2 + n - 1
Ta có A = n2(n - 1) + (n - 1) = (n - 1)(n2 + 1)
Vì A nguyên tố nên A chỉ có 2 Ư. Ư thứ 1 là 1 còn Ư thứ 2 nguyên tố nên ta suy ra 2 trường hợp :
TH1 : n - 1 = 1 và n2 + 1 nguyên tố
⇒
n = 2 và n2 + 1 = 5 nguyên tố (thỏa)
TH2 : n2 + 1 = 1 và n - 1 nguyên tố
⇒
n = 0 và n - 1 = - 1( ko thỏa)
Vậy n = 2
2 ,
Xột số A = (2n – 1)2n(2n + 1)
A là tích của 3 số tự nhiên liờn tiệp nên A ⋮ 3
Mặt khỏc 2n – 1 là số nguyên tố ( theo giả thiết )
2n không chia hết cho 3
Vậy 2n + 1 phải chia hết cho 3 ⇒ 2n + 1 là hợp số.
3 ,
Giải:
Với m=2 thì m2+2=4+2= 6 là hợp số (loại)
Với m=3 thì m2+2 = 9+2= 11 (thoải mãn)
Với m= 3k+1 ( với k ẻ N) thì: m2+2 = (3k+1)2 +2 = 3(3k2+2k+1) là hợp số ( loại)
Với m= 3k+2 thì: m2+2= (3k+2)2 +2 = 3(3k2+4k+2) là hợp số (loại)
Vậy với m= 3 thì m và m2+2 là số nguyên tố. Khi đó m3+ 2= 33+2 = 29 là số nguyên tố.
Cho a,n đều là số nguyên dương lớn hơn 1, CMR
Nếu an-1 là số nguyên tố thì a=2 và n là số nguyên tố
Nếu an+1 là số nguyên tố thì a chia hết cho2 và n là lũy thừa của 2
Hãy xem trong lời giải của bài toán sau đây có bước nào bị sai?
Bài toán: chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, mệnh đề sau đây đúng:
A(n) : “nếu a và b là những số nguyên dương mà max{a,b} = n thì a = b”
Chứng minh :
Bước 1: A(1):”nếu a,b là những số nguyên dương mà max{a,b} = 1 thì a = b”
Mệnh đề A(1) đúng vì max{a,b} = 1 và a,b là những số nguyên dương thì a= b =1.
Bước 2: giả sử A(k) là mệnh đề đúng vơi k≥1
Bước 3: xét max{a,b} = k+1 ⇒max{a-1,b-1} = k+ 1-1 = k
Do a(k) là mệnh đề đúng nên a- 1= b-1 ⇒ a= b⇒ A(k+1) đúng.
Vậy A(n) đúng với mọi n ∈N*
A. Bước 1
B. Bước 2
C. Bước 3
D. Không có bước nào sai
Đáp án là C. Ta có a,b∈N* không suy ra a -1, b -1∈N* . Do vậy không áp dụng được giả thiết quy nạp cho cặp {a -1, b -1}.
Chú ý: nêu bài toán trên đúng thì ta suy ra mọi số tự nhiên đều bằng nhau. Điều này là vô lí.
1.Chứng minh rằng:
a) Nếu 2a+3b chia hết cho 11 thì 5b+2a chia hết cho 11 và ngược lại.
b) n là số nguyên tố lớn hơn 3 thì n2 là số nguyên tố hay hợp số?
2. Tìm chữ số x và y để: x185y chia hết cho 12
3. Tìm tất cả các số nguyên x và y, biết: \(\frac{1}{2}< \frac{x}{5}< \frac{y}{4}< \frac{3}{5}\)
1.Chứng minh rằng:
a) Nếu 2a+3b chia hết cho 11 thì 5b+2a chia hết cho 11 và ngược lại.
b) n là số nguyên tố lớn hơn 3 thì n2 là số nguyên tố hay hợp số?
2. Tìm chữ số x và y để: x185y chia hết cho 12
3. Tìm tất cả các số nguyên x và y, biết: \(\frac{1}{2}< \frac{x}{5}< \frac{y}{4}< \frac{3}{5}\)
CMR:
a) Nếu b là số nguyên tố khác 3 thì A=3n+2+2014b2 là hợp số với mọi số tự nhiên n
b) Nếu p và 8p2+1 là các số nguyên tố thì 8p2+2p+1 là số nguyên tố
c) Nếu k là số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn k2+4 và k2+16 là các số nguyên tố thì k chia hết cho 5