Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt (P) tại O. Cho đường thẳng b thuộc mặt phẳng (P). Hãy tìm mối quan hệ giữa khoảng cách giữa a, b và khoảng cách từ O đến b (H.7.88).
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a căn 2. Tính khoảng cách từ:
a) C đến mặt phẳng (SAB).
b) từ A đến (SCD).
c) Từ O đến (SCD).
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
a/
Ta có
\(CB\perp AB\) (ABCD là hình vuông)
\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CB\)
\(\Rightarrow CB\perp\left(SAB\right)\) => CB=a là khoảng cách từ C đến mp (SAB)
b/
Trong mp (SAD) dựng đường thẳng vuông góc với SD cắt SD tại H
Ta có
\(CD\perp AD\) (ABCD là hình vuông)
\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\)
\(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\Rightarrow CD\perp AH\)
Mà \(AH\perp SD\)
\(\Rightarrow AH\perp\left(SCD\right)\) => AH là khoảng cách từ A đến mp (SCD)
Xét tg vuông SAD có
\(SD=\sqrt{SA^2+AD^2}=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt{3}\) (Pitago)
Ta có
\(AD^2=DH.SD\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
\(\Rightarrow DH=\dfrac{AD^2}{SD}=\dfrac{a^2}{a\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)
Xét tg vuông ADH có
\(AH=\sqrt{AD^2-DH^2}\) (Pitago)
\(\Rightarrow AH=\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{3}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)
c/ Trong mp (ABCD) Qua O dựng đường thẳng //CD cắt AD tại M và BC tại N => MN//CD (1)
Trong mp (SAD) dựng đường thẳng // AH cắt SD tại Q => MQ // AH
TRong mp (SCD) qua Q dựng đường thẳng //CD cắt SC tại P => QP // CD (2)
Từ (1) và (2) => MN // PQ => M; N; P; Q cùng thuộc 1 mặt phẳng
=> PQ là giao tuyến của mp (MNQP) với mp (SCD)
Trong mp (MNQP) qua O dựng đường thẳng // với MQ cắt QP tại K
Ta có
MQ//AH; OH// MQ => OK//AH
Mà \(AH\perp\left(SCD\right)\)
\(\Rightarrow OK\perp\left(SCD\right)\) => OK là khoảng cách từ O đến mp (SCD)
Xét tứ giác MQKO có
MQ//OK; QP//MN => MQKO là hình bình hành => OK = MQ
Xét tg ACD có
OA=OC (t/c đường chéo hình vuông)
MO//CD
=> MA=MD (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh // với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh còn lai)
Xét tg ADH có
MA=MD (cmt); MQ//AH => QD = QH (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh // với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh còn lai)
=> MQ là đường trung bình của tg ADH
\(\Rightarrow OK=MQ=\dfrac{AH}{2}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}\)
d/
Trong mp (SCD) qua H dựng đường thẳng //CD cắt SC tại E => HE//CD
Ta có
AB // CD (Hai cạnh đối hình vuông)
HE // CD
=> AB//HE => A; B; H; E cùng thuộc một mặt phẳng
Trong mp (AHEB) qua e Dựng đường thẳng // AH cắt AB tại I
Ta có
AH//IE; AB//HE => AHEB là hình bình hành => IE=AH
Ta có
\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AB\)
\(AB\perp AD\) (ABCD là hình vuông)
=> \(AB\perp\left(SAD\right)\Rightarrow AB\perp AH\)
Mà AH//IE
\(\Rightarrow AB\perp IE\) (1)
Ta có
\(AH\perp\left(SCD\right)\) (cmt); mà AH//IE \(\Rightarrow IE\perp\left(SCD\right)\Rightarrow IE\perp SC\) (2)
Từ (1) và (2) => IE là khoảng cách giữa AB và SC
\(\Rightarrow IE=AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến a và cùng vuông góc với mặt phẳng (R). Gọi O là một điểm thuộc a và a' là đường thẳng qua O và vuông góc với (R).
a) Hỏi a' có nằm trong các mặt phẳng (P), (Q) hay không?
b) Tìm mối quan hệ giữa a và a'.
c) Tìm mối quan hệ giữa a và (R).
a) Vì O là một điểm thuộc a là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) và a' là đường thẳng qua O và vuông góc với (R).
Theo nhận xét trang 46 thì a' có nằm trong các mặt phẳng (P), (Q).
b) Vì a' có nằm trong các mặt phẳng (P), (Q) nên a’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) do đó a trùng a' (do a cũng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q)).
c) a vuông góc với (R) do a trùng a’ và a’ vuông góc với (R).
Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và song song với đường thẳng b. Lấy một đường thẳng m bất kì thuộc mặt phẳng (P). Tính (b, m) và từ đó rút ra mối quan hệ giữa b và (P).
\(\left. \begin{array}{l}a \bot \left( P \right)\\m \subset \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot m \Rightarrow \left( {a,m} \right) = {90^0}\)
a // b \( \Rightarrow \left( {a,m} \right) = \left( {b,m} \right) = {90^0}\) mà đường thẳng m bất kì thuộc mặt phẳng (P)
\( \Rightarrow \) b \( \bot \) (P).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , A B = a , B C = a 3 . Tam giác SAO cân tại S, mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 0 . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AC
A. a 3 2
B. 3 a 2
C. a 2
D. 3 a 4
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB=a, BC=a 2 . Tam giác SAO cân tại S, mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 0 . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AC
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy hai đường thẳng a, a' cùng vuông góc với (P), hai đường thẳng b, b' cùng vuông góc với (Q). Tìm mối quan hệ giữa các góc (a,b) và (a', b').
Vì hai đường thẳng a, a' cùng vuông góc với (P), hai đường thẳng b, b' cùng vuông góc với (Q) nên a // a', b // b'
Vậy (a,b) = (a', b')
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
a) Chứng minh rằng B'D vuông góc với mặt phẳng (BA'C')
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (BA'C') và (ACD')
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC' và CD'
b) Xét tứ giác A’BCD’ có BC//A’D’ và BC = A’D’
=> tứ giác A’BCD’ là hình bình hành
=> BA’ // CD’ ( tính chất của hình bình hành)
Tương tự, tứ giác ABC’D’ là hình bình hành nên BC’//AD’
Gọi O và O’ là tâm của ABCD và A’B’C’D’.
Gọi H và I lần lượt là tâm của hai tam giác đều BA’C’ và ACD’.
* Xét ( BB’D’D) có BO’// D’O nên OI // HB
Lại có: O là trung điểm BD
=> I là trung điểm của HD: IH = ID (1)
* Xét (BB’D’D) có D’O// BO’ nên D’I // HO’
Lại có: O’ là trung điểm của B’D’ nên H là trung điểm B’I: HI = HB’ (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
* Theo phần trên B'D ⊥ (BA'C) ⇒ IH ⊥ (BA'C)
Mà I ∈ (ACD') nên khoảng cách giữa hai mp song song (ACD’) và ( BA’C’) là độ dài đoạn IH.
Khi đó:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x - 1 2 = y 1 = z + 1 3 và mặt phẳng (P): 2x+y-z=0. Mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P). Khoảng cách từ điểm O(0;0;0) đến mặt phẳng (Q) bằng
A. 1 3
B. 1 3
C. 1 5
D. 1 5
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B với AC = 2a, BC = a. Đỉnh S cách đều các điểm A, B, C. Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60 ° . Khoảng cách từ trung điểm M của SC đến mặt phẳng (SAB) bằng
A. a 39 13
B. 3 a 13 13
C. a 39 26
D. a 13 26
Gọi H là trung điểm của AC
Đỉnh S cách đều các điểm A, B, C
Xác đinh được
Ta có MH//SA
Gọi I là trung điểm của AB
và chứng minh được
Trong tam giác vuông SHI tính được
Chọn A.