Ta dễ có bất đẳng thức \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c

Mà a+b+c=2021 nên a=b=c=2021/3

\(a\text{) }\)Áp dụng: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) (a, b > 0). Dấu "=" xảy ra khi a = b.

\(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{2.\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\)

\(=6\left[\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{27}{8}\left(a+b\right)+\frac{27}{8}\left(a+b\right)\right]-\frac{81}{2}\left(a+b\right)\)

\(\ge6.3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)^2}.\frac{27}{8}\left(a+b\right).\frac{27}{8}\left(a+b\right)}-\frac{81}{2}\left(a+b\right)\)

\(=\frac{81}{2}-\frac{81}{2}\left(a+b\right)\)

Tương tự: \(\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{bc}\ge\frac{81}{2}-\frac{81}{2}\left(b+c\right)\)

\(\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{1}{ca}\ge\frac{81}{2}-\frac{81}{2}\left(c+a\right)\)

Cộng theo vế ta được 

\(A\ge3.\frac{81}{2}-81\left(a+b+c\right)=3.\frac{81}{2}-81=\frac{81}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}.\)

Vậy GTNN của A là \(\frac{81}{2}.\)

cho 2 biểu thức mà c/m 1 biểu thức M là sao

Biểu thức N vứt sọt à hay làm cái j v :V

tớ cũng nghĩ vậy nhưng mãi sau mới biết chứng minh M =N rồi chứng minh N >=(a+b+c)/8 để suy ra M  >=(a+b+c)/8

\(4\left(a+b+c\right)=a^2+\left(b+c\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow a+b+c\le8\)

\(a^2+16-16\ge8a-16\)

\(\Rightarrow P\ge8\left(a+b+c\right)-16+\dfrac{8100}{\sqrt{2a+2b+1}+\sqrt{2c+1}}\)

\(\Rightarrow P\ge8\left(a+b+c\right)-16+\dfrac{48600}{6\sqrt{2a+2b+1}+6\sqrt{2c+1}}\)

\(\Rightarrow P\ge8\left(a+b+c\right)-16+\dfrac{24300}{a+b+c+10}\)

\(\Rightarrow P\ge8\left(a+b+c+10+\dfrac{324}{a+b+c+10}\right)+\dfrac{21708}{a+b+c+10}-96\)

\(\Rightarrow P\ge16.\sqrt{324}+\dfrac{21708}{18}-96=1398\)

Dấu "=" xảy ra tại \(\left(a;b;c\right)=\left(4;0;4\right)\)

Lời giải:
$a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac$

$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$

Vì $(a-b)^2\geq 0; (b-c)^2\geq 0; (c-a)^2\geq 0$ nên để tổng của chúng $=0$ thì $(a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0$

$\Rightarrow a=b=c$

Kết hợp $a+b+c=2019$

$\Rightarrow a=b=c=\frac{2019}{3}=673$

\(\dfrac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}< =\dfrac{1}{\sqrt{2ab-ab}}=\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\)

\(\sqrt{\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}}< =\dfrac{1}{\sqrt{bc}};\sqrt{\dfrac{1}{c^2-ac+c^2}}< =\dfrac{1}{\sqrt{ac}}\)

=>P<=1/a+1/b+1/c=3

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1