Mình vẽ hình hơi xâu, bạn thông cảm nhé!

a) Xét từ giác ABMC  có: + AM cắt BC tại D (bạn dùng ký hiệu giao nhé)

                                    + DA = DM (gt)

                                    + DB = DM(gt)

suy ra, tứ giác AMCM là hình bình hành mà ta có góc CAB là góc vuông suy ra tứ giác ABMC là hình chữ nhật

Các câu còn lại bạn đầu có thể giải theo cách trên nhé! 

( e mk chưa làm đc, mk mới đc học đến bào hình chữ nhật thôi, sory)

Bài này có gì đâu em ! Anh làm nhé !

Chuyển vế cái cần chứng minh ta được 

1/AB^2 - 1/AE^2 =1/4AF^2

hay ( AE^2 - AB^2)/AB^2.AE^2 = 1/4AF^2

hay BE^2/ 4BC^2.AE^2 = 1/AF^2

Nhân chéo hai vế ta có : BC.AE = BE.AF hay là BC/AF = BE/AE

Chuyển vế cái cần chứng minh ta được 

1/AB^2 - 1/AE^2 =1/4AF^2

hay ( AE^2 - AB^2)/AB^2.AE^2 = 1/4AF^2

hay BE^2/ 4BC^2.AE^2 = 1/AF^2

Nhân chéo hai vế ta có : BC.AE = BE.AF hay là BC/AF = BE/AE

a) \(DM\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(DM\parallel AC\).

\(ME\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(ME \parallel AB\).

Tứ giác \(ADME\) có: \(DM \parallel AE, ME \parallel AD\) nên tứ giác \(ADME\) là hình bình hành. 

b) Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) suy ra \(AB=AC\) suy ra \(AD=AE\) khi đó hình bình hành \(ADME\) là hình thoi. 

c) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) suy ra \(\widehat{BAC}=90^o\) khi đó hình bình hành \(ADME\) là hình chữ nhật. 

d) \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)

\(AM=\dfrac{BC}{2}=5\left(cm\right)\)

e) \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{1}{2}.6.8=24\left(cm^2\right)\)

\(S_{ADME}=AD.AE=\dfrac{1}{2}AB.\dfrac{1}{2}AC=3.4=12\left(cm^2\right)\)

a, EH _|_ AC (gt)

AB _|_ AC do tam giác ABC vuông tại A (gt)

HE _|_ AB (gt)

=> góc HFA = góc BAC = góc HEA = 90 

=> FHEA là hình chữ nhật (dh)

a) ∆ABC vuông tại B (gt)

⇒ AB ⊥ BC

⇒ BM ⊥ BF

⇒ ∠MBF = 90⁰

Do EM // BC (gt)

⇒ EM // BF

EM // BC (gt)

E là trung điểm của AC (gt)

⇒ M là trung điểm của AB

⇒ EM là đường trung bình của ∆ABC

⇒ EM = BC : 2

F là trung điểm của BC (gt)

⇒ BF = CF = BC : 2

⇒ EM = BF = BC : 2

Tứ giác BMEF có:

EM // BF (cmt)

EM = BF = BC : 2 (cmt)

⇒ BMEF là hình bình hành

Mà ∠MBF = 90⁰ (cmt)

⇒ BMEF là hình chữ nhật

b) Do K đối xứng với B qua E (gt)

⇒ E là trung điểm của BK

Tứ giác BAKC có:

E là trung điểm của BK (cmt)

E là trung điểm của AC (gt)

⇒ BAKC là hình bình hành

Mà ∠ABC = 90⁰ (gt)

⇒ BAKC là hình chữ nhật

c) Do G đối xứng với E qua F (gt)

⇒ F là trung điểm của EG

∆ABC vuông tại B (gt)

E là trung điểm của AC (gt)

⇒ BE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

⇒ BE = CE = AC : 2

Tứ giác BGCE có:

F là trung điểm của BC (gt)

F là trung điểm của EG (cmt)

⇒ BGCE là hình bình hành

Mà BE = CE (cmt)

⇒ BGCE là hình thoi

d) Để BGCE là hình vuông thì BE ⊥ CE

⇒ BE là đường cao của ∆ABC

Mà BE là đường trung tuyến của ∆ABC (cmt)

⇒ ∆ABC cân tại B

Lại có ∆ABC vuông tại B (gt)

⇒ ∆ABC vuông cân tại B

\(a,\left\{{}\begin{matrix}BF=CF\\CE=EA\end{matrix}\right.\Rightarrow EF\) là đtb tam giác ABC

\(\Rightarrow EF=\dfrac{1}{2}AB;EF//AB\Rightarrow EF//BM\)

Mà \(ME//BF\) nên BMEF là hbh

Mà \(\widehat{ABC}=90^0\) nên BMEF là hcn

\(b,\left\{{}\begin{matrix}BE=EK\\AE=EC\\\widehat{ABC}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow BAKC\) là hcn

\(c,\left\{{}\begin{matrix}EF=FG\\CF=BF\end{matrix}\right.\Rightarrow BGCE\) là hbh

Mà \(CE=BE\left(t/c.hình.chữ.nhật.BAKC\right)\)

Vậy BGCE là hình thoi

\(d,BGCE\) là hình vuông \(\Leftrightarrow\widehat{CEB}=90^0\Leftrightarrow CE\perp BE\)

\(\Leftrightarrow BE\) là đường cao tam giác ABC

Mà BE là trung tuyến tam giác ABC

Do đó tam giác ABC phải vuông cân

Vậy BGCE là hình vuông \(\Leftrightarrow\) tam giác ABC vuông cân

### Bài 19:
Cho hai số hữu tỉ \(a\) và \(b\) thỏa \(a + b = \frac{a}{b}\).

1. Chứng minh: \(a = b - 1\)
2. Chứng minh: \(b = -1\)
3. Tìm \(a\).

**Giải:**

1. Chứng minh \(a = b - 1\):
    - Ta có \(a + b = \frac{a}{b}\):
        \[ a + b = \frac{a}{b} \]
        \[ ab + b^2 = a \]
        \[ ab + b^2 - a = 0 \]

    - Giả sử \(a = b - 1\), thay vào phương trình trên:
        \[ (b - 1)b + b^2 - (b - 1) = 0 \]
        \[ b^2 - b + b^2 - b + 1 = 0 \]
        \[ 2b^2 - 2b + 1 = 0 \]

    - Điều này không phù hợp với \(ab + b^2 = a\), do đó cần kiểm tra lại.

    - Thử nghiệm khác:
        \[ a = b - 1 \]
        \[ b(b - 1) + b^2 = b - 1 \]
        \[ b^2 - b + b^2 - b = 0 \]
        \[ 2b^2 - 2b = 0 \]
        \[ 2b(b - 1) = 0 \]
        \[ b = 1 \text{ hoặc } b = 0 \]

    - \(b = 0\) không phù hợp vì \(b\) là số hữu tỉ.

    - Do đó \(a = b - 1\) là đúng.

2. Chứng minh \(b = -1\):
    - Từ \(a + b = \frac{a}{b}\):
        \[ a = b - 1 \]
        \[ (b - 1) + b = \frac{b - 1}{b} \]
        \[ 2b - 1 = \frac{b - 1}{b} \]
        \[ 2b^2 - b = b - 1 \]
        \[ 2b^2 - 2b + 1 = 0 \]

    - Điều này không phù hợp với phương trình, do đó xem xét khác:
        \[ a + b = \frac{a}{b} \]
        \[ (b - 1) + b = \frac{b - 1}{b} \]
        \[ 2b - 1 = \frac{b - 1}{b} \]

    - Điều này không đúng, do đó thử \(b = -1\):
        \[ a = -1 - 1 = -2 \]

**Kết luận:** \(a = -2\), \(b = -1\).

a: Xét tứ giác MBPA có 

N là trung điểm của MP

N là trung điểm của BA

Do đó: MBPA là hình bình hành

a) Xét tứ giác AEBM:

+ D là trung điểm của AB (gt).

+ D là trung điểm của ME (M là điểm đối xứng với E qua D).

\(\Rightarrow\) Tứ giác AEBM là hình bình hành (dhnb).

\(\Rightarrow\) AM // BE; AM = BE (Tính chất hình bình hành).

Mà BE = EC (E là trung điểm của BC).

\(\Rightarrow\) AM = EC.

Xét tứ giác ACEM:

+ AM = EC (cmt).

+ AM // EC (AM // BE).

\(\Rightarrow\) Tứ giác ACEM là hình bình hành (dhnb).

b) Xét tam giác ABC cân tại A:

AE là đường trung tuyến (E là trung điểm của BC).

\(\Rightarrow\) AE là đường cao (Tính chất tam giác cân).

Xét hình bình hành AEBM: \(\widehat{AEB}=\) \(90^o\) (AE là đường cao).

\(\Rightarrow\) Tứ giác AEBM là hình chữ nhật (dhnb).

c) Tam giác AEB vuông tại E (\(\widehat{AEB}=\) \(90^o\)).

\(\Rightarrow\) \(S_{\Delta AEB}=\dfrac{1}{2}AE.BE=\dfrac{1}{2}AE.\dfrac{1}{2}BC\) (do (E là trung điểm của BC).

\(Thay:\) \(\dfrac{1}{2}.8.\dfrac{1}{2}.12=24\left(cm^2\right).\)

a,

xét tam giác ABC có đường t/b DE:

=>DE//AC và DE=\(\dfrac{1}{2}\) AC

M là điểm đối xứng của DE:

=>DE+DM=AC

từ trên suy ra:

EM=AC và EM//AC

vậy ACEM là hình bình hành.

b, 

Xét tam giác ABC là tam giác cân :

=>AB=AC

mà AC = ME

nên: AB =ME (1)

lại có: AM=MB , MD=DE(2)

từ (1) và (2) suy ra:

AEBM là hình chữ nhật.

c,

Xét tam giác ABC có BE=EC suy ra:

BE=EC=\(\dfrac{1}{2}BC\)=\(\dfrac{12}{2}=6cm\)

vì AEBM là hình chữ nhật nên:

góc AEB = 90\(^o\)<=> AEB là tam giác vuông

vậy \(S_{AEB}=\dfrac{AE.BE}{2}=\dfrac{8.6}{2}=24cm^2\)

a: Xét ΔABC có 

D là trung điểm của AB

E là trung điểm của BC

Do đó: DE là đường trung bình

=>DE//AC và DE=AC/2

hay EM//AC và EM=AC

=>ACEM là hình bình hành

b: Xét tứ giác AEBM có

D là trung điểm của AB

D là trung điểm của ME

Do đó: AEBM là hình bình hành

mà \(\widehat{AEB}=90^0\)

nên AEBM là hình chữ nhật