\(0,\left(123\right)+0,\left(876\right)\)

\(=\dfrac{123}{999}+\dfrac{876}{999}\)

\(=\dfrac{123+876}{999}\)

\(=\dfrac{999}{999}\)

\(=1\)

B=4+4²+4³+...+4⁴⁵

B=(4+4²+4³)+...+(4⁴³+4⁴⁴+4⁴⁵)

B=4.(4+4²+4³)+...+4⁴³.(4+4²+4³)

B=4.84+...+4⁴³.84

B=84.(4+...+4⁴³)

Mà 84 chia hết cho 21 => B chia hết cho 21 (đpcm)

Ta có:

abcabc = 1000abc + abc = 1001.abc 

Vì 1001 = 7.11.13 (là tích của 3 số nguyên tố) 

=> abcabc luôn chia hết cho 3 số nguyên tố là 7; 11 và 13

abcabc = 1000 x abc + abc 

= 1001 x abc = 143 x 7 x  abc = 91 x 11 x abc = 77 x 13 x abc

=> abcabc chia hết cho 7, 11, 13

Ta có:
abcabc=abc000 + abc
=abc x1000+abc
=abc x (1000+1)
=abc x 1001
=abc x 7 x 11 x 13
Vì abcabc là tích của 7 x 11x 13 => abcabc chia hết cho 7,11 và 13

S = 1 - 1/4 + 1/4 - 1/7 + 1/7 - 1/10 +.............+ 1/40 - 1/43 + 1/43 - 1/46

S = 1 - 1/46

S = 45/46 < 1

=> S < 1 (đpcm)

*** k mk nha các bạn ***

\(s=\frac{3}{1.4}+\frac{3}{4.7}+\frac{3}{7.10}+...+\frac{3}{43.46}\)

\(\Rightarrow s=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+.....+\frac{1}{43}-\frac{1}{46}\)

\(\Rightarrow S=1-\frac{1}{46}=\frac{45}{46}\)

Tao có \(\frac{45}{46}<1\) => S < 1 

\(ab-ac+bc-c^2=-1\)

\(a\left(b-c\right)+c\left(b-c\right)=-1\)

\(\left(a+c\right)\left(b-c\right)=-1\)

Vì \(a,b,c\in Z\Rightarrow a+c,b-c\in Z\)

\(\Rightarrow a+c,b-c\inƯ\left(-1\right)\)

*Lập bảng

Vậy nếu ab-ac+bc-c²=-1 thì a và b là 2 số đối nhau

\(a=b=0\Rightarrow0+0>0\) xem lại đề

Sửa đề: a, b là số âm

c/m \(a^3+b^3>ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)-\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)< 0\)

\(\left(a+b\right)\left[ab-\left(a^2-2ab+b^2\right)\right]=-\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2>0\) => đề sai

Ta có: a.(b+1)      b.(a+1)

=ab+a              = ab +b

Vì a,b thuộc Z và a<b,b>0

suy ra: ab+a < ab+b

suy ra: a/b<a+1/b+1 (ĐPCM)

Xét hiệu : \(a\left(b+1\right)-b\left(a+1\right)=ab+a-ab-b=a-b\)

Vì a<b => a-b<0 => a(b+1) -b(a+1)<0 => a(b+1)<b(a+1)

Mặt khác vì b>0 nên b+1>0 => b(b+1)>0

=> \(\frac{a\left(b+1\right)}{b\left(b+1\right)}< \frac{b\left(a+1\right)}{b\left(b+1\right)}hay\frac{a}{b}< \frac{a+1}{b+1}\)