1) \(tanB=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{15}{10}=1,5\)

\(\Rightarrow B=56^o\)

2) \(tan\left(\dfrac{B}{2}\right)=\dfrac{AI}{AB}\Rightarrow AI=AB.tan\left(\dfrac{B}{2}\right)\)

\(AI=10.tan\left(\dfrac{56}{2}\right)=10.0,5=5\left(cm\right)\)

3) \(BI^2=AI^2+AB^2\left(Pitago\right)\)

\(\Rightarrow BI^2=5^2+10^2=25+100=125\)

\(\Rightarrow BI=\sqrt[]{125}=\sqrt[]{25.5}=5\sqrt[]{5}\left(cm\right)\)

\(AH.BI=AI.AB\Rightarrow AH=\dfrac{AI.AB}{BI}=\dfrac{5.10}{5\sqrt[]{5}}=\dfrac{10}{\sqrt[]{5}}=2\sqrt[]{5}\left(cm\right)\)

a) Ta có : \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{10^2+15^2}=5\sqrt{13}\) (cm)

\(sinB=\frac{AC}{BC}=\frac{15}{5\sqrt{13}}=\frac{3}{\sqrt{13}}\Rightarrow\widehat{B}\approx56^o18'35,76''\)

b) Đặt AI = x (0<x<15)

Theo t/c đường phân giác ,ta có \(\frac{AI}{AB}=\frac{IC}{BC}\) hay \(\frac{x}{10}=\frac{15-x}{5\sqrt{13}}\Leftrightarrow x=\frac{10\sqrt{13}-20}{3}\) (cm)

c) Tính được : \(BI=\sqrt{AB^2+AI^2}=\sqrt{10^2+\left(\frac{10\sqrt{13}-20}{3}\right)^2}\) (cm)

Lại có : AB . AI = BI . AH => \(AH=\frac{AB.AI}{BI}=............\)

b) Xét ΔABH vuông tại H và ΔCBA vuông tại A có 

\(\widehat{ABH}\) chung

Do đó: ΔABH\(\sim\)ΔCBA(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{HB}{AB}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AB^2=BC\cdot BH\)(đpcm)

Có gấp thế nào đi nữa thì phải đủ dữ kiện đề tụi tớ mới giúp được cậu nhé :))

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=BC^2-AB^2=10^2-6^2=64\)

hay AC=8(cm)

Xét ΔABC có BD là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{BC}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)

hay \(\dfrac{AD}{6}=\dfrac{CD}{10}\)

mà AD+CD=AC=8cm(D nằm giữa A và C)

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AD}{6}=\dfrac{CD}{10}=\dfrac{AD+CD}{6+10}=\dfrac{AC}{16}=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}\)

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AD}{6}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{CD}{10}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AD=3\left(cm\right)\\CD=5\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: AD=3cm; CD=5cm 

mình chịu thoiii

Xét \(\Delta ABH\)và \(\Delta ACH\)có:

\(AB=AC\)( \(\Delta ABC\)cân tại A )

AH là cạnh chung

\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(=90^0\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta ACH\left(ch.gn\right)\)

\(\Rightarrow HB=HC\)( 2 cạnh tương ứng )

b) Vì \(HB=HC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow HB=HC=\frac{12}{2}=6cm\)

Xét \(\Delta ACH\left(\widehat{H}=90^0\right)\) có:

\(AC^2=AH^2+CH^2\)( định lý py-ta-go )

\(\Rightarrow10^2=AH^2+6^2\)

\(\Rightarrow AH^2=10^2-6^2\)

\(\Rightarrow AH^2=64\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{64}\)

\(\Rightarrow AH=8cm\)

Vậy \(AH=8cm\)