Cho tập hợp A={1,2,...,16} . Hãy tìm số nguyên dương k NN sao cho mỗi tập hợp con gồm k ptư của A đều tồn tại 2 số phân biệt a,b mà a^2+b^2 là SNT
Cho tập $A = \{1; \, 2; \, 3; \, ...; \, 16\}$. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập con gồm $k$ phần tử của $A$ đều tồn tại hai số phân biệt $a$, $b$ mà $a^2 + b^2$ là một số nguyên tố.
Nếu ta chọn một tập toàn số chẵn thì a^2+b^2 là hợp số. Trong tập A lại có 8 số chẵn nên k>8=>k>=9. Ta sẽ chứng minh k=9 là giá trị nhỏ nhất cần tìm.
Xây dựng dãy gồm 8 phần tử:
(1,4);(2,3);(5,8);(6,11);(7,10);(9,16);(12,13);(14,15)
Theo dirichlet toàn tại 2 phần tử cùng thuộc 1 số trong dãy trên nên ta sẽ có ngay điều phải chứng minh (Do tổng bình phương các số trong đó đều là snt)
Cho tập A gồm 16 số nguyên dương đầu tiên. Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có tính chất. Trong mỗi tập con gồm k phẩn tử của A đều tồn tại 2 số phân biệt a,b sao cho \(a^2+b^2 là \) số nguyên tố
Thật lòng xin lỗi vì bây giờ mới nhìn thấy bài tag của bạn.
Lời giải:
Tập hợp $A$ bao gồm $8$ số chẵn và $8$ số lẻ.
Nếu \(k\leq 8\). Ta có thể chọn một tập hợp \(S\) gồm $k$ phần tử chỉ gồm toàn số chẵn hoặc toàn số lẻ. Khi đó, mọi \(a,b\in S\) thì \(\left\{\begin{matrix} a^2+b^2\vdots 2\\ a^2+b^2> 2\end{matrix}\right.\) hay \(a^2+b^2\not\in\mathbb{P}\) (không thỏa mãn)
Do đó \(k>8\)
Nếu \(k=9\). Ta sẽ chỉ ra $k=9$ là số nhỏ nhất thỏa mãn bằng cách xét 8 nhóm sau:
\((1,16)\); \((2,15); (3,10); (4, 11); (5,6); (7,12); (8, 13); (9, 14)\)
(các cặp này được lấy ra từ 16 số nguyên dương thỏa mãn tổng các bình phương là số nguyên tố)
Khi đó trong tập $S$ gồm $9$ phần tử, theo nguyên lý Dirichlet ta luôn tồn tại ít nhất \(\left[\frac{9}{8}\right]+1=2\) phần tử thuộc cùng một nhóm, tức là trong tập S gồm $9$ phần tử luôn chọn ra được 2 phần tử \((a,b)\) thỏa mãn \(a^2+b^2\) là số nguyên tố.
Vậy \(k=9\)
Một tập hợp các số nguyên dương được gọi là tập hương nếu tập hợp đó có ít nhất 2 phần tử và mỗi phần tử của nó đều có ước nguyên tố chung với ít nhất một trong các phần tử còn lại . Đặt P(n)=n2+n+1. Hãy tìm số nguyên dương b nhỏ nhất sao cho tồn tại số không âm a để tập hợp {P(a+1);P(a+2);...;P(a+b)} là tập hương.
Cho A là 1 tập hợp gồm 1008 số nguyên dương phân biệt bất kì, mỗi số ko vượt quá số k. Tìm Max k sao cho trong A có ít nhất 1 số là bội số của 1 số khác cũng thuộc A
cho A là tập hợp gồm 1008 số nguyên dương phân biệt bất kì, mỗi số không vượt quá số k. Tìm giá trị lớn nhất của k sao cho trong A có ít nhất một số là bội số của một số khác cũng thuộc A
Cho tập hợp A: {1; 2; 3; 4; ...;25}. CMR mỗi tập con của B gồm 17 phần tử của A luôn tồn tại 2 phần tử phân biệt có tích là 1 số chính phương
Cho tập hợp A gồm n phần tử \(\left(n\ge4\right)\). Biết rằng số tập hợp con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con gồm 2 phần tử của A. Tìm \(k\in\left[1,2,.....,n\right]\) sao cho số tập con gồm k phần tử của tập hợp A là lớn nhất.
Số tập hợp con có k phần tử của tập hợp A (có 18 phần tử)
\(C_{18}^k\left(k=1,.....,18\right)\)
Để tìm max \(C_{18}^k,k\in\left\{1,2,.....,18\right\}\) (*), ta tiến hành giải bất phương trình sau :
\(\frac{C_{18}^k}{C_{18}^{k+1}}< 1\)
\(\Leftrightarrow C_{18}^k< C_{18}^{k+1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{18!}{\left(18-k\right)!k!}< \frac{18!}{\left(17-k\right)!\left(k+1\right)!}\)
\(\Leftrightarrow\left(18-k\right)!k!>\left(17-k\right)!\left(k+1\right)!\)
\(\Leftrightarrow17>2k\)
\(\Leftrightarrow k< \frac{17}{2}\)
Điều kiện (*) nên k = 1,2,3,.....8
Suy ra \(\frac{C_{18}^k}{C_{18}^{k+1}}>1\) khi k = 9,10,...,17
Vậy ta có
\(C^1_{18}< C_{18}^2< C_{18}^3< .........C_{18}^8< C_{18}^9>C_{18}^{10}>.....>C_{18}^{18}\)
Vậy \(C_{18}^k\) đạt giá trị lớn nhất khi k = 9. Như thế số tập hợp con gồm 9 phần tử của A là số tập hợp con lớn nhất.
Tập hợp A gồm n phần tử n ≥ 4 . Biết rằng số tập hợp con chứa 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con chứa 2 phần tử của A. Tìm số k ∈ 1 ; 2 ; . . . ; n sao cho số tập hợp con chứa k phần tử của A là lớn nhất.
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 4 ) , biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k ( 1 ≤ k ≤ n ) sao cho số tập con gồm k phần tử của A lớn nhất
A. k = 9
B. k = 7
C. k = 8
D. k = 6