a: Xét ΔABC có BM/BA=BN/BC

nên MN//AC và MN=AC/2

Xét ΔCDA có DP/DC=DQ/DA

nên PQ//CA và PQ=AC/2

=>MN//PQ và MN=PQ

b: Xét tứ giác MNPQ có

MN//PQ

MN=PQ

=>MNPQ là hình bình hành

a: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của BC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: MN//AC và MN=AC/2(1)

Xét ΔADC có 

Q là trung điểm của AD

P là trung điểm của CD

Do đó: QP là đường trung bình của ΔADC

Suy ra: QP//AC và QP=AC/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra MN//PQ và MN=PQ

hay MNPQ là hình bình hành

Vì ABCD là hbh nên => AB=DC, AD=BC

có M là tđ của AB, P là trung điểm của DC mà AB=DC=>MB=DP (1)

N là tđ của BC, Q là tđ của AD mà AD=BC=> QD=BN (2)

Có góc QDB=góc MBN (ABCD là hbh) (3)

(1),(2),(3)=> tam giác MPN=tam giác QDP=>QP=MN

tương tự, cm QM=PN=> tứ giác QMNP có QM=BN, QP=MN => Tứ giác MNPQ là hbh( có hai cặp cạnh đối bằng nhau)

a: Xét ΔBAC có

M,N lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>MN là đường trung bình

=>MN//AC và \(MN=\dfrac{AC}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔDAC có

Q,P lần lượt là trung điểm của DA,DC

=>QP là đường trung bình

=>QP//AC và \(QP=\dfrac{AC}{2}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra MN=PQ

b: MN//AC

PQ//AC

Do đó: MN//PQ

Xét tứ giác MNPQ có

MN//PQ

MN=PQ

Do đó: MNPQ là hình bình hành

Xét tứ giác ABD có : AQ=QD ;AM=MB

 suy ra MQ là đường trung bình của tam giác ABD 

vậy MQ= 1/2 BD và MQ  song song với BD*

Xét tam giác CDB có : PD=PC;NC=NB

suy ra NP là đường trung bình của tam giác CDB

vậy NP song song với BD và NP =1/2 BD**

từ *và ** suy ra MQ song song với MP

  MQ =MP

vậy tứ giác MNPQ là HBH

nối 2 đường chéo: Q tđ AD , P tđ DC => QP đường trung bình tam giác ADC=> QP // và = AC (1)

A tđ AB,N tđ BC => MN đường trung bình tam giác ABC => MN//=1/2 AC(2)

1 và 2 => QP song song và bằng MN => tứ giác QMNP hình bình hành

Nối AC ta có:

MB = MA (gt)

NB = NC (gt)

Suy ra: MN là đường trung bình của tam giác ABC

Nên MN // AC , MN = 1/2AC (1)

Tương tự: PQ là đường trung bình của tam giác ADC

Nên PQ // AC và PQ = 1/2AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MN // PQ (cùng // AC)

                                 MN = PQ (cùng = 1/2AC)

Do đó: Tứ giác MNPQ là hình bình hành ( một cặp cạnh đối vừa // vừa bằng nhau)

a: Xét ΔABD có AM/AB=AQ/AD

nên MQ//BD và MQ=BD/2

Xét ΔCBD có CP/CD=CN/CB

nên NP//BD và NP=BD/2

=>MQ//NP và MQ=NP

=>MNPQ là hình bình hành

b: KHi ABCD là hình thoi thì AC vuông góc với BD

=>MQ vuông góc với MN

=>MNPQ là hình chữ nhật

c: khi ABCD là hình chữ nhật thì AC=BD

=>MN=MQ

=>MNPQ là hình thoi