a) Ta có :

\(10^n=100.....000\) (\(n\) chữ số \(0\)) có tổng các chữ số là \(1\)

Lại có : \(5^3=125\) có tổng các chữ số là \(8\)

\(\Rightarrow10^n+5^3\) có tổng các chữ số là \(9\)

\(\Rightarrow10^n+5⋮9\rightarrowđpcm\)

~ Chúc bn học tốt ~

b) Số có tận cùng là \(3\) khi nâng lên lũy thừa mũ \(4n\) sẽ có tận cùng là chữ số \(1\)

Do đó : \(43^{43}=43^{4.10+3}=43^{4.10}+43^3=\left(......1\right)\left(...7\right)=\left(...7\right)\)

Số có tận cùng là \(7\) khi nâng lên lũy thừa mũ \(4n\) sẽ có tận cùng là \(1\)

Do đó : \(17^{17}=17^{4.4+1}=17^{4.4}+17^1=\left(...1\right)\left(....7\right)=\left(...7\right)\)

\(\Rightarrow43^{43}-17^{17}=\left(....7\right)-\left(...1\right)=\left(...0\right)\)

\(\Rightarrow43^{43}-17^{17}⋮10\rightarrowđpcm\)

~ Học tốt ~

b) Ta có ƯCLN(43,10) = 1

Theo định lý Euler ta có \(43^{\varphi\left(10\right)}=43^4\equiv1\left(mod10\right)\)

\(43^{43}=43^{4.10+3}=\left(43^4\right)^{10}.43^3\)

\(43^{43}\equiv1^{10}.43^3\left(mod10\right)\)

\(43^{43}\equiv43^3\left(mod10\right)\)

\(43^{43}\equiv7\left(mod10\right)\)

Ta có ƯCLN(17,10) = 1

Theo định lý Euler ta có \(17^{\varphi\left(10\right)}=17^4\equiv1\left(mod10\right)\)

\(17^{17}=17^{4.4+1}=\left(17^4\right)^4.17\)

\(17^{17}\equiv1^4.17\left(mod10\right)\)

\(17^{17}\equiv17\left(mod10\right)\)

\(17^{17}\equiv7\left(mod10\right)\)

\(43^{43}-17^{17}\equiv7-7\left(mod10\right)\\43^{43}-17^{17}\equiv0\left(mod10\right)\)

Vậy 43⁴³ - 17¹⁷ chia hết cho 10

\(a,16^5+2^{15}=\left(2^4\right)^5+2^{15}=2^{20}+2^{15}=2^{15}.\left(2^5+1\right)=2^{15}.33\) luôn chia hết cho 33 (đpcm)

\(b,81^7-27^9-9^{13}=\left(3^4\right)^7-\left(3^3\right)^9-\left(3^2\right)^{13}=3^{28}-3^{27}-3^{26}\)

\(=3^{26}.\left(3^2-3-1\right)=3^{26}.5=3^{22}.3^4.5=3^{22}.405\) chia hết cho 405 (đpcm)

a)\(10^9+10^8+10^7=10^7\left(10^2+10+1\right)=10^7\cdot111=2\cdot10^6\cdot555⋮555\)

b)\(81^7-27^9-9^{13}=3^{28}-3^{27}-3^{26}=3^{26}\left(3^2-3-1\right)=3^{26}.5=3^{24}\cdot45⋮45\)

Chúc bạn học tốt :)!

81⁷-27⁹-9¹³
=(3⁴)⁷-(3³)⁹-(3²)¹³
=3²⁸-3²⁷-3²⁶
=3²⁶(3²-3-1) 
=3^26.5=3¹³.3².5=45.3¹³ chia hết cho 45 

\(81^7-27^9-9^{13}=\left(3^4\right)^7-\left(3^3\right)^9-\left(3^2\right)^{13}=3^{28}-3^{27}-3^{26}=3^{24}\left(81-27-9\right)=45.3^{24}⋮45\)

\(81^{27}-27^9-9^{13}\)

\(=3^{28}-3^{27}-3^{26}\)

\(=3^{26}\cdot5=3^{24}\cdot45\)Như vậy số này chia hết cho 45 . Suy ra 81 mũ 7 - 27 mũ 9 - 9 mũ 13 chia hết cho 45