Dự đoán xảy ra cực trị tại y = 2 và x = 1

Ta biến đổi nhưng sau: \(P=\left(8x^3+8+8\right)+\left(y^3+8+8\right)-32\)

\(\ge3\sqrt[3]{8x^3.8.8}+3\sqrt[3]{y^3.8.8}-32\)

\(=24x+12y-32=12\left(2x+y-\frac{8}{3}\right)\)

\(=12\left(6-\frac{8}{3}-xy\right)=12\left(\frac{10}{3}-xy\right)\)

\(=12\left(\frac{10}{3}-1x.2y\right)\ge12\left(\frac{10}{3}-\frac{\left(x+1\right)^2}{4}.\frac{\left(y+2\right)^2}{4}\right)\)

\(=12\left(\frac{10}{3}-\frac{\left[\left(x+1\right)\left(y+2\right)\right]^2}{4}\right)\)

\(=12\left(\frac{10}{3}-\frac{xy+2x+y+2}{4}\right)=12\left(\frac{10}{3}-\frac{6+2}{4}\right)=16\)

Vậy P min = 16 khi x = 1;y=2

Chết mọe,nhầm cmnr=(((

Ta có 2x+y+xy=6

\(\Leftrightarrow\)2x+xy+y+2=6+2

\(\Leftrightarrow\)x(y+2)+y+2=8

\(\Leftrightarrow\)(y+2)(x+1)=8

\(\Rightarrow\)(x+1),(y+2)\(\in\)Ư(8)={1;2;4;8;-1;-2;-4;-8}

\(\Rightarrow\)Ta có bẳng sau:

\(\Rightarrow\)

Vì x,y nguyên dương\(\Rightarrow\)(x,y)={(0;6),(1;2),(3;0)}

(thay lần lượt các cặp nghiệm nguyên vào biểu thức \(P=8x^3+y^3\))
 

Thay \(1=\left(x+y\right)^3\)vào biểu thức A ta có :

\(A=\frac{\left(x+y\right)^3}{x^3+y^3}+\frac{\left(x+y\right)^3}{xy}=\frac{x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)}{xy}\)

\(=1+\frac{3xy}{x^3+y^3}+3+\frac{x^3+y^3}{xy}\)

\(=4+\left(\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy}\right)\ge4+2\sqrt{\frac{3xy\left(x^3+y^3\right)}{xy\left(x^3+y^3\right)}}\)\(=4+2\sqrt{3}=\left(\sqrt{3}+1\right)^2\)(chỗ này áp dụng cosi 2 số)

chờ tí tui lm cho

lỗi r ạ

\(P=\dfrac{6x+6y+2xy}{2}=\dfrac{6x+6y+2xy+10-10}{2}\)

\(=\dfrac{6x+6y+2xy+2\left(x^2+y^2\right)+6}{2}-5\)

\(=\dfrac{\left(x+y+2\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2}{2}-5\ge-5\)

\(P_{min}=-5\) khi \(x=y=-1\)