Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của CB lấy điểm N sao cho AM =CN . Gọi Ilà giao điểm của MN và CD.
GọI E là trung điểm của MN, tia DE cắt BC tại F. Qua M vẽ đường thẳng song song với AD cắt DF tại H.
Chứng minh rằng : Tứ giác MFNH là hình thoi.
Chứng minh : Chu vi tam giác BMF không đổi khi m di động trên cạnh AB.
cho hình vuông ABCD , trên cạnh AB lấy điểm M,trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho AM bằng CN. Gọi E là trung điểm của MN,tia DE cắt BC tại F. Qua M vẽ đường thắng song song với AD cắt DF tại H. CMR
a, tứ giác MFNH là hình thoi
b,ND2 bằng NB . NF
c, chu vi tam giác BMF không đổi khi M di động trên cạnh AB
Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh AB lấy M , trên tia đối CB lấy N , sao cho AM = CN . Gọi E là trung điểm MN . Tia DE cất BC tại F . Qua M vẽ đường thẳng song song AD cắt DF tại H . Chứng minh :
a, tứ giác MFNH là hình thoi
b, ND2 = NB . NF
c, Chu vi tam giác BMF k đổi khi M di động trên AB
a, ∆ADM = ∆CDN (c-g-c)
=> ^ADM = ^CDN (cgtứ) => ^MDN = ^ADC = 90độ ; DM = DN (cctứ)
=> ∆MDN vuông cân tại D (đcpm)
b, Xét ∆ DFN và ∆BDN có:
^DNF = ^BND
^DBN = ^FDN (=45độ)
=> ∆DFN ~ ∆BDN (g-g) => \(\frac{ND}{NB}=\frac{NF}{ND}\Rightarrow ND^2=NB\cdot NF\left(đpcm\right)\)
c, PBMF = MB + BF + MF = (AB - AM) + (BC - FC) + (FC + CN) = AB - AM + AB - FC + FC - AM (vì AM=CN; AB=BC)
= 2AB
Mà hình vuông ABCD cố định => độ dài AB không đổi => Chu vi ∆BMF không đổi
Vậy chu vi ∆BMF không đổi khi M di động trên cạnh AB.
Cho hình vuông ABCD. Trên canh AB lấy điểm M(M#A), trên tia đối của tia CB lấy điểm N Sao cho AM=CN. Gọi E là trung điểm MN, tia DE cắt BC tại F, DM cắt CB tại K. Qua M ve đường thẳng song song với AD cắt DF tại H. CMR:
a) Tứ giác MFNH là hình thoi
b) ND2=NB.NF
c)1/DM2+1/DK2 có giá trị không đổi khi M thay đổi trên AB
cho tam giác ABC cân tại A trên cạnh BC lấy D, Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=BD đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D CẮT AB tại M đường thẳng vuông góc với BE tại E cắt AC tại N. Cạnh BC cắt MN tại N. CM Ilà trung điểm của MN
Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh BC lấy điểm M (khác B và C) . Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho: BN = CM . Đường thẳng AM cắt CD tại E .Trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho CF = CE. Gọi O là giao điểm của AC và BD .
Chứng minh hai tam giác BOM và BFD đồng dạng.
Đặt cạnh hình vuông là a, ta có \(BD=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow BO=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow BO.BD=a^2\)
Xét 2 tam giác vuông AED và MAB có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ADE}=\widehat{MBA}=90^0\\\widehat{AED}=\widehat{MAB}\left(slt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta AED\sim\Delta MAB\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AD}{BM}=\dfrac{ED}{AB}\Rightarrow BM.ED=AD.AB=a^2\)
\(\Rightarrow BM.ED=BO.BD\)
Mà \(ED=BF\) (do \(BC=CD\) và \(CE=CF\))
\(\Rightarrow BM.BF=BO.BD\Rightarrow\dfrac{BM}{BD}=\dfrac{BO}{BF}\)
Xét hai tam giác BOM và BFD có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{BM}{BD}=\dfrac{BO}{BF}\\\widehat{OBM}\text{ chung}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta BOM\sim\Delta BFD\left(c.g.c\right)\)
Cho hình vuông ABCD .TRên cạch AB lấy điểm M ,Trên tia đối của BC lấy điểm N sao cho AM =CN.Gọi E là trung điểm của MN.Tia DE cắt BC tại F .Qua M vẽ đường thẳng song song vớiAD cắt DF tại H.Cm rằng
a)Tứ giác MFNH LÀ hình thoi ?
b)ND2=NB.NF
c)Chu vi tam giascBMF không đổi khi M chuyển động trên cách AB
d)Gọi J là giao điểm của MN và DC ,cm DJ.DC=NJ.NE=DM2
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A có đường phân giác CD. Qua D kẻ tia DF vuông góc với DC; DE song song với BC ( F thuộc BC; E thuộc AC ). Gọi M là giao điểm của DE với tia phân giác của góc BAC. CMR:
1) CF= 2BD
2) DM= 1/4 CF
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE. Các đường thẳng vuông góc BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M và N. CMR:
1) DM=EN
2) Đường thẳng BC cắt MN tại I là trung điểm của MN
3) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC
Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn. Về phía ngoài của tam vẽ các tam giác vuông cân ABD và ACE đều vuông tại A. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BD và CE, P là trung trung điểm của BC. CMR: Tam giác PMN vuông cân
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E, trên tia đối của DC, lấy điểm F sao cho FAD = EAB
a) Chứng minh: ΔAFD = ΔAEB
b) Gọi I là trung điểm của EF, M là giao điểm của AI và CD. Qua E kẻ đường thẳng song song với CD và cắt AI tại N. Chứng minh: AI vuông góc EF và tứ giác MENF là hình thoi
c) Chứng minh: S(AME) = S(ADM) + S(AEB)
a: Xét ΔAFD vuông tại D và ΔAEB vuông tại B có
AD=AB
góc FAD=góc EAB
Do đó: ΔAFD=ΔAEB
b: ΔAFD=ΔAEB
=>AF=AE
=>ΔAFE cân tại A
mà AI là trung tuyến
nên AI vuông góc với EF
Xét ΔINE vuông tại I và ΔIMF vuông tại I có
IE=IF
góc IEN=góc IFM
Do đó: ΔINE=ΔIMF
=>IN=IM
Xét tứ giác MFNE có
I là trung điểm chung của MN và FE
MN vuông góc với FE
Do đó: MFNE là hình thoi
