vì n+2012 và n+2013 là 2 số tự nhiên liên tiếp

mà 2 số tự nhiên liên tiếp nhân với nhau có tận cùng là chữ số chắn

=> chia hết cho 2

2011ⁿ luôn lẻ

2012ⁿ luôn chẵn

2013ⁿ luôn lẻ

=> 2011ⁿ + 2012ⁿ + 2013ⁿ luôn chẵn

=> Chia hết cho 2

=> ĐPCM 

2011ⁿ có chữ số tận cùng là 1 => 2011ⁿ là số lẻ

2013ⁿ có tận cùng là 9 ; 7 ; 1 ;3 => 2013ⁿ là số lẻ

2012ⁿ có tận cùng chẵn            => 2012ⁿ là số chẵn

do đó tổng 3 số đã cho sẽ là : lẻ + lẻ + chẵn = chẵn ( luân chia hết cho 2 với mọi n thuộc N*) => ĐPCM

ĐPCM là gì vậy nhỉ?

Đặt \(A=\left(n+2012^{2013}\right)+\left(n+2013^{2012}\right)\)
\(A=2n+\left(2012^4\right)^{503}.2012+\left(2013^4\right)^{503}\)

\(A=2n+\left(...6\right)+\left(...1\right)\)

Ta có : 2n là số chẵn

\(2012^{2013}\) là số chẵn

\(2013^{2012}\) là số lẻ

\(=>A=2n+2012^{2013}+2013^{2012}\) là số lẻ

Vì A là số lẻ => \(\left(n+2013^{2012}\right);\left(n+2012^{2013}\right)\) sẽ có 1 số chẵn và 1 số lẻ

=> \(\left(n+2012^{2013}\right)\left(n+2013^{2012}\right)\) là số chẵn nên chia hết cho 2 ( đpcm )

      Đây là toán nâng cao chuyên đề chia hết, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp đánh giá như sau:

         Bài 1: CM A = n² + n + 6 ⋮ 2 

+ TH1: Nếu n là số chẵn ta có: n = 2k (k \(\in\) N)

  Khi đó: A = (2k)² + 2k + 6 

              A = 4k² + 2k + 6

             A =  2.(2k² + k + 3)  ⋮ 2

+ TH2: Nếu n là số lẻ ta có: n²; n đều là số lẻ

         Suy ra n² + n là chẵn vì tổng của hai số lẻ luôn là số chẵn

            ⇒  A = n² + n + 6 là số chẵn 

                A = n² + n + 6 ⋮ 2

+ Từ các lập luận trên ta có: A = n² + n + 6 ⋮ 2 \(\forall\) n \(\in\) N

Đây là dạng toán nâng cao chuyên đề tính chất chia hết của một tổng, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp quy nạp toán học như sau:

Bài 2: CM:  A = n³ + 5n ⋮6 ∀ \(n\) \(\in\) N

          Với n = 1 ta có: A = 1³ + 1.5 

                A = 1 + 5 = 6 ⋮ 6

          Giả sử A đúng với n = k (k \(\in\) N)

          Khi đó ta có: A  = k³ + 5k ⋮ 6 \(\forall\) k \(\in\) N ⁽¹⁾

          Ta cần chứng minh A = n³ + 5n ⋮ 6 với n = k  + 1

          Tức là ta cần chứng minh: A = (k + 1)³ + 5.(k + 1) ⋮ 6

Thật vậy với n = k + 1 ta có: 

       A = (k  + 1)³ + 5(k + 1) 

      A = (k  +1).(k  + 1)(k + 1) + 5.(k  +1)

     A = (k² + k + k  +1).(k + 1) + 5k  +5

     A =  [k² + (k + k) + 1].(k + 1) + 5k + 5

    A = [k² + 2k + 1].(k + 1) + 5k + 5

   A = k³ + k² + 2k² + 2k + k  +1  +5k  +5

   A  = (k³ + 5k) + (k² + 2k²) + (2k + k) + (1 + 5) 

    A = (k³ + 5k) + 3k² + 3k + 6

   A = (k³ + 5k) + 3k(k +1) + 6

   k.(k  +1) là tích của hai số liên tiếp nên luôn chia hết cho 2

 ⇒ 3.k.(k + 1) ⋮ 6 ⁽²⁾

     6 ⋮ 6 ⁽³⁾

Kết hợp (1); (2) và (3) ta có:

    A = (k³ + 5k) + 3k(k + 1) + 6 ⋮ 6 ∀ k \(\in\) N

Vậy A = n³ + 5n ⋮ 6 \(\forall\) n \(\in\) N (đpcm) 

                           Bài 3: 

Đây là toán nâng cao chuyên đề tính chất chia hết của một tích, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp đánh giá như sau:

                               Giải:

A = (n + 2013²⁰¹²).( n + 2012²⁰¹³)

TH1: Nếu n  là số chẵn ta có:

    2012 là số chẵn nên 2012²⁰¹³ là số chẵn suy ra n + 2012¹³ là số chẵn. Mà số chẵn thì luôn chia hết cho 2

Vậy A = (n + 2013²⁰¹²).(n + 2012²⁰¹³) ⋮ 2 \(\forall\) n là số chẵn (1)

TH2: Nếu n là số lẻ ta có:

   2013 là số lẻ nên 2013²⁰¹² là số lẻ khi đó ta có 

  n + 2013²⁰¹² là số chẵn vì tổng của hai số lẻ là một số chẵn mà số chẵn thì luôn chia hết cho 2

Vậy A = (n + 2013²⁰¹²).(n + 2012²⁰¹³) ⋮ 2 \(\forall\) n là số lẻ (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

A = (n + 2013²⁰¹²).(n + 2012²⁰¹³) ⋮ 2 ∀ n \(\in\) N

đặt: S=2011ⁿ+2012ⁿ+2013ⁿ

Ta có:

\(\hept{\begin{cases}2011^nlẻ\\2012^nchẵn\\2013^nlẻ\end{cases}}\Rightarrow2011^n+2012^n+2013^nchẵn\Rightarrow S⋮2\left(đpcm\right)\)

TH1: n = 2k (k thuộc N):

Ta có: (n + 2012²⁰¹³)(n + 2013²⁰¹²) = (2k + 2012²⁰¹³)(2k + 2013²⁰¹²).

Vì: (2k + 2012²⁰¹³) là số chẵn nên suy ra: (2k + 2012²⁰¹³)(2k + 2013²⁰¹²) ⋮ 2    (1)

TH2: n = 2k + 1 (k thuộc N):

Ta có: (n + 2012²⁰¹³)(n + 2013²⁰¹²) = (2k + 1 + 2012²⁰¹³)(2k  + 1 + 2013²⁰¹²).

Vì: (2k + 1 + 2013²⁰¹²) là số chẵn nên suy ra: (2k + 2012²⁰¹³)(2k + 2013²⁰¹²) ⋮ 2    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (n + 2012²⁰¹³)(n + 2013²⁰¹²) ⋮ 2.