Ta có:

AB = AC (tam giác ABC vuông tại A) AM là trung tuyến của tam giác ABC (điểm M là trung điểm của BC) MN vuông góc AC và MN = MH

Khi đó, ta có:

Tam giác ABM và ACM là hai tam giác cân (AB = AM và AC = AM), nên AM là đường trung trực của đoạn BM và đoạn CM. Gọi I là giao điểm của đường thẳng MN và BC. Ta có MI là đường trung trực của đoạn BC. Vì MN = MH nên tam giác MHN là tam giác cân tại M, nên đường trung trực của đoạn HN cũng là đường trung trực của đoạn BC, do đó đường trung trực của đoạn HN cũng cắt đường trung trực của đoạn BC tại I.

Do AM là đường trung trực của đoạn BM và đoạn CM, và MI là đường trung trực của đoạn BC, nên ta có AM và MI là hai đường trùng nhau, do đó A, M, I thẳng hàng.

Từ đó suy ra:

Góc AMB = góc AMC (do AM là đường trung trực của đoạn BM và đoạn CM) Góc AHB = góc AHC (do AB = AC và HN là đối của MN) Góc AMB + góc AHB = 90 độ (do MN vuông góc AC) Góc AMC + góc AHC = 90 độ (do MN vuông góc AC)

Vậy ta có:

góc AMB + góc AHB = góc AMC + góc AHC

Do đó, tam giác AMB bằng tam giác AMC theo trường hợp góc - góc - góc của hai tam giác.

- Vì AM là trung tuyến tam giác ABC (gt)
=> BM = CM (định nghĩa)
- Xét tam giác AMB và tam giác AMC, có: 
   + BM = CM (cmt)
   + AB = AC (gt)
   + Chung AM 
=> tam giác AMB = tam giác AMC (ccc)
- Vậy tam giác AMB = tam giác AMC theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh

a: ΔABC cân tại A có AM là trung tuyến

nên AM vuông góc BC

b: Xét ΔDBC có

BA là trung tuyến

BA=CD/2

=>ΔDBC vuông tại B

c: ΔABD cân tại A có AE là đường cao

nên E là trung điểm của BD

d: Xét ΔDBC có BE/BD=BM/BC

nên EM//DC

b,- Ta có : AM là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC .

=> AM = BM = CM = KM .

Xét \(\Delta MKC\) và \(\Delta MAB\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}BM=MC\\AM=MK\\\widehat{BMA}=\widehat{KMC}\end{matrix}\right.\)

=> \(\Delta MKC\) = \(\Delta MAB\) ( c - g - c )

- Xét tứ giác ABKC có :

AM = BM = CM = KM và tam giác ABC vuông tại A .

=> Tứ giác ABKC là hình chữ nhật.

=> KC vuông góc với AC .

c, - Áp dụng định lý pitago vào tam giác ABC vuông tại A :

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=13\left(cm\right)\)

Ta có : \(AM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{13}{2}\)

a) Xét tam giác ABM và tam giác DCM có:
AM = DM (gt)
BM = MC (gt)
góc BMA = góc DMC (2 góc đối đỉnh)
=> tam giác ABM = tam giác DCM (c.g.c)
b) Vì tam giác ABM = tam giác DCM (cmt)
=> góc ABM = góc DCM (2 góc tương ứng)
mà 2 góc này so le trong
=> AB//DC
c) Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:
AB = AC (gt)
BM = MC (gt
AM là cạnh chung
=> tam giác ABM bằng tam giác ACM (c.c.c)
=> góc BMA bằng góc AMC
=> góc BMA = góc AMC = 1/2(góc BMA + góc AMC)
mà góc BMA + góc AMC = 180o (2 góc kề bù)
=> góc BMA = góc AMC = 1/2.180o = 90o
=> AM vuông góc với BC

Câu c) bạn ghi lại chính xác giúp!

a) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta DCM\) có:

AM = DM (gt)

\(\widehat{BMA}=\widehat{DMC}\)  (2 góc đối đỉnh)

BM = MC (gt)

=> \(\Delta ABM=\Delta DCM\left(c.g.c\right)\)

b) Vì \(\Delta ABM=\Delta DCM\)(câu a)

=> \(\widehat{ABM}=\widehat{DCM}\) (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này so le trong

=> AB//DC

c) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACM\) có:

AB = AC (gt)

BM = MC (gt)

AM là cạnh chung

=> \(\Delta ABM=\Delta ACM\left(c.c.c\right)\)

=> \(\widehat{BMA}=\widehat{AMC}\)

=> \(\widehat{BMA}=\widehat{AMC}=\frac{1}{2}\left(\widehat{BMA}+\widehat{AMC}\right)\)

mà \(\widehat{BMA}+\widehat{AMC}=180^o\) (2 góc kề bù)

=> \(\widehat{BMA}=\widehat{AMC}=\frac{1}{2}\cdot180=90^o\)

=> AM vuông góc với BC

bài 1 đề bài có sai ko?

Đề đúng nha bạn

Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE. 
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của  ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE      => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực  Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/

(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM          => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của  ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).

.

.