Bài làm:

Ta có: \(P=2x+y+\frac{30}{x}+\frac{5}{y}\)

\(=\left(\frac{30}{x}+\frac{6}{5}x\right)+\left(\frac{5}{y}+\frac{1}{5}y\right)+\left(\frac{4}{5}x+\frac{4}{5}y\right)\)

\(\ge2\sqrt{\frac{30}{x}\cdot\frac{6}{5}x}+2\sqrt{\frac{5}{y}\cdot\frac{1}{5}y}+\frac{4}{5}.10\)

\(=2\cdot6+2\cdot1+8=22\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=5\)

Vậy Min(P) = 22 khi x = y = 5

Hãy xem phương pháp chọn điểm rơi của BĐT AM-GM( BĐT Cô-si)

Giải

\(P=\frac{3x}{10}+\frac{30}{x}+\frac{y}{20}+\frac{5}{y}+\frac{17x}{10}+\frac{19y}{20}\)

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

\(\frac{3x}{10}+\frac{30}{x}\ge2\sqrt{\frac{3x}{10}\cdot\frac{30}{x}}=6\)

\(\frac{y}{20}+\frac{5}{y}\ge2\sqrt{\frac{y}{20}\cdot\frac{5}{y}}=1\)

Do đó

\(P\ge6+1+17+\frac{19}{2}=\frac{67}{2}\)(Vì \(x,y\ge10\))

Vậy \(P_{min}=\frac{67}{2}\Leftrightarrow x=y=10\)

Ta có: \(P=2x+y+\frac{30}{x}+\frac{5}{y}\)

\(=\frac{4}{5}x+\frac{6}{5}+\frac{4}{5}y+\frac{y}{5}+\frac{30}{x}+\frac{5}{y}\)

\(=\frac{4}{5}\left(x+y\right)+\left(\frac{6}{5}x+\frac{30}{x}\right)+\left(\frac{y}{5}+\frac{5}{y}\right)\)

\(Vì:x,y>0\) nên ta áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương \(\frac{6}{5}x\) và \(\frac{30}{x};\frac{y}{5}\) và \(\frac{5}{y}\) ta được:

\(\frac{6}{5}x+\frac{30}{x}\ge2\sqrt{\frac{6}{5}x.\frac{30}{x}}=12\left(1\right)\)

\(\frac{y}{5}+\frac{5}{y}\ge2\sqrt{\frac{y}{5}.\frac{5}{y}}=2\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\) và giả thiết \(x+y\ge10\)

\(\Rightarrow P\ge8+12+2=22\)

\(\Rightarrow Min_P=22\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=5\)

Ta sẽ c/m: \(\frac{x}{x+1}\le\frac{9}{16}x+\frac{1}{16}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{x+1}-\frac{9}{16}x-\frac{1}{16}\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-\left(3x-1\right)^2}{16\left(x+1\right)}\le0\) (đúng)

Thiết lập tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế ta được: \(Q\le\frac{9}{16}\left(x+y+z\right)+\frac{3}{16}=\frac{9}{16}+\frac{3}{16}=\frac{3}{4}\)

Vậy Q max = ³/₄ khi x = y  =z  =¹/₃

sao lại viết thế kia

học tốt nha

Cách tth_new UCT khá gọn nhưng t có cách đẹp không kém :))

\(3-Q=\left(1-\frac{x}{x+1}\right)+\left(1-\frac{y}{y+1}\right)+\left(1-\frac{z}{z+1}\right)\)

\(=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\)

\(\ge\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{9}{4}\)

\(\Rightarrow Q\le\frac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=¹/₃

\(P=\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2+2001\)

\(P=4x^2+\frac{1}{x^2}+4+4y^2+\frac{1}{y^2}+4+2001\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y=1

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(P\ge3\left(x^2+y^2\right)+2.\sqrt{x^2.\frac{1}{x^2}}+2.\sqrt{y^2.\frac{1}{y^2}}+2009\ge3.2+2+2+2009=2019\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y=1

KL:......................................